2019CCPC-江西省賽 Cotree(HDU-6567)

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題目鏈接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6567

題目大意

給你兩棵樹，讓你在兩棵樹之間加一條邊,使得兩棵樹聯通且任意兩結點之間的距離之和最短
就是最小化這個式子
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ndis\left(i,j\right)$

思路

首先分別對兩棵樹$Tree_A$和$Tree_B$,我們在$Tree_A$中找一個點$S_A$,使得$Tree_A$中所有點到$S_A$的距離之和最小,同理在$Tree_B$中找到$S_B$,將這兩個點連接起來,就是符合題目要求的邊.
因爲兩棵樹之間只有這一條邊相連,那麼$Tree_A$中的點要去$Tree_B$,就必須經過$S_A,S_B$,又因爲$S_A,S_B$是各自的樹裏面的結點距離之和最小的,那麼把它們連起來就是符合題意的
(其實$S_A,S_B$就是樹的重心)

那麼怎樣找$S_A$呢,首先以任意一個頂點爲根,假設以$1$爲根,維護兩個數組$sum[i]$,表示$i$的子節點到$i$的的距離之和,$sum\_num[i]$表示$i$的子節點的個數,現在以$1$爲根做一遍DFS可以得到這兩個數組。
然後開始換根,假設現在的根是$now$, $v$是$now$的子節點,那麼當根從$now$變到$v$時

• $sum\_num[now]-=(sum\_num[v]+1)$即$v$及$v$的子節點不再是$now$的子節點,遂減去
• $sum[now]-=(sum[v]+sum\_num[v]+1)$即$v$及$v$的子節點不再走到$now$,這部分的權值是它們走到$v$的權值加上它們再走一步走到$now$,再走一步走到$now$的值就是結點個數$*1$,即$(sum[v]+sum\_num[v]+1)$
• $sum\_num[v]+=sum\_num[now]+1$即$now$及$now$的子節點變成了$v$的子節點，注意:這裏的$sum\_num[now]$已經是經過上面變換之後的
• $sum[v]+=(sum[now]+sum\_num[now]+1)$即$now$及$now$的子節點將會走到$v$,這部分的權值是它們走到$now$的權值加上它們再走一步走到$v$,再走一步走到$v$的值就是結點個數$*1$,即$(sum[now]+sum\_num[now]+1)$,注意:這裏的關於$now$的數組已經是經過前兩步變換過的

然後遍歷樹中的所有結點我們就能得到以$S_A$爲根,最小的$sum[S_A]$
找出$S_A,S_B$之後就可以計算題目中的那個式子了:
$Tree_A$中的每一個點都要與$Tree_B$中的每一個點計算距離,那麼首先$Tree_A$中的每一個點要先走到$S_B$,距離就是$sum[S_A]+Tree_A$中結點個數,這個式子的含義就是$Tree_A$中所有點先走到$S_A$,再走一步到$S_B$
又因爲$Tree_B$中有$N$個結點,所以$Tree_A$中的每一個點都要走$N$次去$S_B$這條路,所以要乘以$N$
然後$S_B$到$Tree_B$中所有點的距離之和是$sum[S_B]$,這個值會被計算$Tree_A$中結點個數次，所以要乘以$Tree_A$中的結點個數
最後的結果就是
$(sum[S_A]+sum\_num[S_A]+1)*(sum\_num[S_B]+1)+sum[S_B]*(sum\_num[S_A]+1)$
其中$sum\_num[S_A]+1$和$sum\_num[S_B]+1$就是$Tree_A$和$Tree_B$中的結點個數.
上面是兩棵樹之間點的距離之和，最後再加上兩棵樹各自內部的點之間的距離之和就行了，這個可以再換根的時候就得到換根時每一個點都作爲根計算過$sum[i]$,只需要將每個$sum[i]$累加起來最後除以2就行了

AC代碼

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define wfor(i,j,k) for(i=j;i<k;++i)
#define mfor(i,j,k) for(i=j;i>=k;--i)
// void read(ll &x) {
//  char ch = getchar(); x = 0;
//  for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar());
//  for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
// }
const ll maxn = 100005;
struct EDGE
{
    ll next;
    ll end;
};
ll head[maxn];
EDGE edge[maxn * 2];
ll cnt;
void add(ll beg, ll end)
{
    edge[++cnt].next = head[beg];
    edge[cnt].end = end;
    head[beg] = cnt;
}
ll vis[maxn];
ll sum[maxn];
ll sum_num[maxn];
void dfs(ll now)//dfs先得到以任意一個結點爲根的sum和sum_num數組的值
{
    ll i;
    ll temp_sum = 0;
    ll temp_sum_num = 0;
    for (i = head[now]; i; i = edge[i].next)
    {
        ll v = edge[i].end;
        if (!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
            dfs(v);
            temp_sum += sum_num[v] + sum[v] + 1;
            temp_sum_num += sum_num[v] + 1;
        }
    }
    sum_num[now] = temp_sum_num;
    sum[now] = temp_sum;
}
ll root_1;
ll sum_root1;
ll root_2;
ll sum_root2;
ll find_root(ll now, ll &root, ll &sum_root)//換根
{
    ll i;
    ll tot = 0;
    tot += sum[now];//累加以每一個點爲根的sum[i]
    ll temp1 = sum[now];
    ll temp2 = sum_num[now];
    for (i = head[now]; i; i = edge[i].next)
    {
        ll v = edge[i].end;
        if (!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
	    /**四步變換**/
            sum[now] -= (sum[v] + sum_num[v] + 1);
            sum_num[now] -= (sum_num[v] + 1);
            sum[v] += sum[now] + sum_num[now] + 1;
            sum_num[v] += sum_num[now] + 1;
            if (sum[v] < sum_root)//找sum的最小值
            {
                sum_root = sum[v];
                root = v;
            }
            tot += find_root(v, root, sum_root);
            sum[now] = temp1;
            sum_num[now] = temp2;
        }
    }
    return tot;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
#ifdef test
    freopen("F:\\Desktop\\question\\in.txt", "r", stdin);
#endif
#ifdef ubuntu
    freopen("/home/time/debug/debug/in", "r", stdin);
    freopen("/home/time/debug/debug/out", "w", stdout);
#endif
    ll n;
    cin >> n;
    ll i;
    wfor(i, 0, n - 2)
    {
        ll u, v;
        cin >> u >> v;
        add(u, v);
        add(v, u);
    }
    vis[1] = 1;
    dfs(1);
    root_1 = 1;
    sum_root1 = sum[root_1];
    wfor(i, 1, n + 1)
    {
        if (!vis[i])
        {
            vis[i] = 1;
            root_2 = i;
            dfs(i);
            break;
        }
    }
    sum_root2 = sum[root_2];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    ll ans = 0;
    vis[root_1] = 1;
    ll temp = find_root(root_1, root_1, sum_root1);
    ans += temp / 2;
    vis[root_2] = 1;
    temp = find_root(root_2, root_2, sum_root2);
    ans += temp / 2;
    /**兩棵樹之間的距離**/
    ans += (sum_root2) * (sum_num[root_1] + 1) + (sum_root1 + sum_num[root_1] + 1) * (sum_num[root_2] + 1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}