2019CCPC-江西省赛 Cotree(HDU-6567)

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题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6567

题目大意

给你两棵树，让你在两棵树之间加一条边,使得两棵树联通且任意两结点之间的距离之和最短
就是最小化这个式子
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ndis\left(i,j\right)$

思路

首先分别对两棵树$Tree_A$和$Tree_B$,我们在$Tree_A$中找一个点$S_A$,使得$Tree_A$中所有点到$S_A$的距离之和最小,同理在$Tree_B$中找到$S_B$,将这两个点连接起来,就是符合题目要求的边.
因为两棵树之间只有这一条边相连,那么$Tree_A$中的点要去$Tree_B$,就必须经过$S_A,S_B$,又因为$S_A,S_B$是各自的树里面的结点距离之和最小的,那么把它们连起来就是符合题意的
(其实$S_A,S_B$就是树的重心)

那么怎样找$S_A$呢,首先以任意一个顶点为根,假设以$1$为根,维护两个数组$sum[i]$,表示$i$的子节点到$i$的的距离之和,$sum\_num[i]$表示$i$的子节点的个数,现在以$1$为根做一遍DFS可以得到这两个数组。
然后开始换根,假设现在的根是$now$, $v$是$now$的子节点,那么当根从$now$变到$v$时

• $sum\_num[now]-=(sum\_num[v]+1)$即$v$及$v$的子节点不再是$now$的子节点,遂减去
• $sum[now]-=(sum[v]+sum\_num[v]+1)$即$v$及$v$的子节点不再走到$now$,这部分的权值是它们走到$v$的权值加上它们再走一步走到$now$,再走一步走到$now$的值就是结点个数$*1$,即$(sum[v]+sum\_num[v]+1)$
• $sum\_num[v]+=sum\_num[now]+1$即$now$及$now$的子节点变成了$v$的子节点，注意:这里的$sum\_num[now]$已经是经过上面变换之后的
• $sum[v]+=(sum[now]+sum\_num[now]+1)$即$now$及$now$的子节点将会走到$v$,这部分的权值是它们走到$now$的权值加上它们再走一步走到$v$,再走一步走到$v$的值就是结点个数$*1$,即$(sum[now]+sum\_num[now]+1)$,注意:这里的关于$now$的数组已经是经过前两步变换过的

然后遍历树中的所有结点我们就能得到以$S_A$为根,最小的$sum[S_A]$
找出$S_A,S_B$之后就可以计算题目中的那个式子了:
$Tree_A$中的每一个点都要与$Tree_B$中的每一个点计算距离,那么首先$Tree_A$中的每一个点要先走到$S_B$,距离就是$sum[S_A]+Tree_A$中结点个数,这个式子的含义就是$Tree_A$中所有点先走到$S_A$,再走一步到$S_B$
又因为$Tree_B$中有$N$个结点,所以$Tree_A$中的每一个点都要走$N$次去$S_B$这条路,所以要乘以$N$
然后$S_B$到$Tree_B$中所有点的距离之和是$sum[S_B]$,这个值会被计算$Tree_A$中结点个数次，所以要乘以$Tree_A$中的结点个数
最后的结果就是
$(sum[S_A]+sum\_num[S_A]+1)*(sum\_num[S_B]+1)+sum[S_B]*(sum\_num[S_A]+1)$
其中$sum\_num[S_A]+1$和$sum\_num[S_B]+1$就是$Tree_A$和$Tree_B$中的结点个数.
上面是两棵树之间点的距离之和，最后再加上两棵树各自内部的点之间的距离之和就行了，这个可以再换根的时候就得到换根时每一个点都作为根计算过$sum[i]$,只需要将每个$sum[i]$累加起来最后除以2就行了

AC代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define wfor(i,j,k) for(i=j;i<k;++i)
#define mfor(i,j,k) for(i=j;i>=k;--i)
// void read(ll &x) {
//  char ch = getchar(); x = 0;
//  for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar());
//  for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
// }
const ll maxn = 100005;
struct EDGE
{
    ll next;
    ll end;
};
ll head[maxn];
EDGE edge[maxn * 2];
ll cnt;
void add(ll beg, ll end)
{
    edge[++cnt].next = head[beg];
    edge[cnt].end = end;
    head[beg] = cnt;
}
ll vis[maxn];
ll sum[maxn];
ll sum_num[maxn];
void dfs(ll now)//dfs先得到以任意一个结点为根的sum和sum_num数组的值
{
    ll i;
    ll temp_sum = 0;
    ll temp_sum_num = 0;
    for (i = head[now]; i; i = edge[i].next)
    {
        ll v = edge[i].end;
        if (!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
            dfs(v);
            temp_sum += sum_num[v] + sum[v] + 1;
            temp_sum_num += sum_num[v] + 1;
        }
    }
    sum_num[now] = temp_sum_num;
    sum[now] = temp_sum;
}
ll root_1;
ll sum_root1;
ll root_2;
ll sum_root2;
ll find_root(ll now, ll &root, ll &sum_root)//换根
{
    ll i;
    ll tot = 0;
    tot += sum[now];//累加以每一个点为根的sum[i]
    ll temp1 = sum[now];
    ll temp2 = sum_num[now];
    for (i = head[now]; i; i = edge[i].next)
    {
        ll v = edge[i].end;
        if (!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
	    /**四步变换**/
            sum[now] -= (sum[v] + sum_num[v] + 1);
            sum_num[now] -= (sum_num[v] + 1);
            sum[v] += sum[now] + sum_num[now] + 1;
            sum_num[v] += sum_num[now] + 1;
            if (sum[v] < sum_root)//找sum的最小值
            {
                sum_root = sum[v];
                root = v;
            }
            tot += find_root(v, root, sum_root);
            sum[now] = temp1;
            sum_num[now] = temp2;
        }
    }
    return tot;
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
#ifdef test
    freopen("F:\\Desktop\\question\\in.txt", "r", stdin);
#endif
#ifdef ubuntu
    freopen("/home/time/debug/debug/in", "r", stdin);
    freopen("/home/time/debug/debug/out", "w", stdout);
#endif
    ll n;
    cin >> n;
    ll i;
    wfor(i, 0, n - 2)
    {
        ll u, v;
        cin >> u >> v;
        add(u, v);
        add(v, u);
    }
    vis[1] = 1;
    dfs(1);
    root_1 = 1;
    sum_root1 = sum[root_1];
    wfor(i, 1, n + 1)
    {
        if (!vis[i])
        {
            vis[i] = 1;
            root_2 = i;
            dfs(i);
            break;
        }
    }
    sum_root2 = sum[root_2];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    ll ans = 0;
    vis[root_1] = 1;
    ll temp = find_root(root_1, root_1, sum_root1);
    ans += temp / 2;
    vis[root_2] = 1;
    temp = find_root(root_2, root_2, sum_root2);
    ans += temp / 2;
    /**两棵树之间的距离**/
    ans += (sum_root2) * (sum_num[root_1] + 1) + (sum_root1 + sum_num[root_1] + 1) * (sum_num[root_2] + 1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}