求解最大公約數以及最小公倍數

  最大公約數和最小公倍數求解，常用的方法是短除法進行因式分解，然後最大公約數是所有公共因子的乘積，最小公倍數是所有因子的乘積。
本質上求最小公倍數就是求最大公倍數：x=ma， y=mb；m是最大公約數，那最小公倍數就是mab。所以可以得到最大公約數與最小公倍數的關係：

LCM(A,B)×GCD(A,B)=A×B
其中LCM是最小公倍數，GCD是最大公約數

來源：https://blog.csdn.net/Holmofy/article/details/76401074
作者總結出來的結論非常的有用，我們後續就根據這個思路去寫算法。

輾轉相除法（歐幾里得算法）求最大公約數

輾轉相除法：輾轉相除法， 又名歐幾里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公約數的一種方法。它的具體做法是：用較大數除以較小數，除數去除出現的餘數（第一餘數），再用第一餘數去除出現的餘數（第二餘數），如此反覆，直到最後餘數是0爲止。如果是求兩個數的最大公約數，那麼最後的除數就是這兩個數的最大公約數。
來源：https://baike.baidu.com/item/輾轉相除法/4625352?fr=aladdin

注：百度百科裏面的描述好像不對。大家可以比較下

具體算法如下：

int max_gcd(int a,int b){
    if (a <= 0 || b <= 0) {
        printf("please > 0\n");
        return -1;
    }
    if (a<b) {
        int tmp = a;
        a= b;
        b = tmp;
    }
    
    int r;
    while (a%b > 0) {
        r = a%b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return b;
}

結合文章開頭對於公約數的概念，我這邊還有另外的一種方案去實現，具體代碼如下：

int max_gcd1(int a,int b){
    if (a <= 0 || b <= 0) {
        printf("please > 0\n");
        return -1;
    }
    if (a<b) {
        int tmp = a;
        a= b;
        b = tmp;
    }
    int max = 1;
    for (int i = 1; i<=b; i++) {
        if (b%i == 0 && a%i == 0) {
            int tmpMax = max * i;
            if (tmpMax <= b) {
                if (b%tmpMax == 0 && a%tmpMax == 0){
                    max = tmpMax;
                    i = tmpMax;
                }else{
                    max = i;
                }
            }else{
                max = i;
            }
        
        }
    }
    return max;
}

大家可以清晰的感覺到無論是從運算的速度，以及邏輯的清晰度來說，輾轉相除法都有非常大的優勢。

  在網上搜了一下，發現我國古代數學家提出了一個更相減損法的算法去求最大公約數。描述如下：
　第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
　　第二步：以較大的數減較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等爲止。
　　則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
　　根據描述，我這邊實現如下：

int max_gcd2(int a,int b){
    int c = 1;
    while (a%2 == 0 && b%2 == 0) {
        c *= 2;
        a = a/2;
        b = b/2;
    }
    
    while (a != b) {
        if (a > b) {
            a = a - b;
        }else{
            b = b - a;
        }
    }
    return a * c;
    
}

兩種算法的區別

（1）兩者都是求最大公因數的方法，計算上輾轉相除法以除法爲主，更相減損術以減法爲主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。

（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除餘數爲0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到。
轉載地址：https://blog.csdn.net/Holmofy/article/details/76401074

更多優質文章，可以微信掃碼關注：