快速冪算法的原理及實現

冪運算，即次方運算，例如計算 的值即是冪運算，在實現的時候我們往往是這樣寫的：

int __pow(int a,int b){
    int ans = 1;
    while(b--){
        ans *= a;
    }
    return ans;
}

其中a是底數，b爲指數。從時間複雜度上分析這個算法的複雜度是O(n)級別，咋一看好像好很快，但是往往在比賽、做題的時候都需要處理指數很大運算，例如 ，即是 ，這個時候如果用上面的算法來計算的話，就要循環一百萬次，程序就會超時。這個時候快速冪算法就呼之欲出了，先放代碼實現：

int __poww(int a,int b){
    int ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1 != 0){
            ans *= a;
        }
        a *= a;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

快速冪算法的原理是通過將指數拆分成幾個因數相乘的形式，來簡化冪運算。在我們計算 的時候，普通的冪運算算法需要計算13次，但是如果我們將它拆分成 ，再進一步拆分成 只需要計算4次。嗯？哪來的4次？，別急，接着看。

這種拆分思想其實就是借鑑了二進制與十進制轉換的算法思想，我們知道13的二進制是1101，可以知道：

實現的代碼已經給出，原理就是利用位運算裏的位移“>>”和按位與“&”運算，代碼中 b & 1其實就是取b二進制的最低位，用來判斷最低位是0還是1，再根據是0還是1決定乘不乘，不理解的話聯繫一下二進制轉換的過程。b >>= 1其實就是將b的二進制向右移動一位，就這樣位移、取最低位、位移、取最低位，這樣循環計算，直到指數b爲0爲止，整個過程和我們手動將二進制轉換成十進制是非常相似的。普通冪算法是需要循環指數次，也就是指數是多少就要循環計算多少次，而快速冪因爲利用了位移運算，只需要算“指數二進制位的位數”次，對於13來說，二進制是1101，有4位，就只需要計算4次，快速冪算法時間複雜度是O(logn)級別，對於普通冪需要計算一百萬次的來說，快速冪只需要計算6次，這是速度上質的飛躍，但是需要多注意溢出的問題。