Kill Math: 讓數學不只是符號
Author: Bret Victor / April 11, 2011
譯者：神奇的戰士
Bret Victor 是蘋果公司的前 IPAD 的交互設計師, 大神級的人物。他的理想是：改造我們的低幼化社會。爲人們提供工具，用以抵抗和摧毀消費主義文化以及大企業對工作、娛樂和創造力的寡頭控制。將權力、尊嚴和責任感還給個人。Bret 有很多驚豔的作品，感興趣的同學可以在 Youtube 上搜一下。這篇文章中 Bret 認爲大多數人應該用直覺去感知和理解數學符號，而不是靠符號演算。下面是正文：
理解並預測量化世界的能力不應該只屬於那些能夠熟練運用抽象數學符號的人。
當大多數人談及數學的時候，腦袋裏想的更多是數學的機理而不是思考數學的本質。賦予符號含義、按照神祕的法則的變換和根據變換來解釋意義組成了這種所謂的“數學”。整個過程就像是在抓鬮一樣。
如此的數學機制發展起來是有原因的：這是在紙和筆的限制下構建的最有效的數學系統。但是很遺憾的是，大多數的人們並不習慣將含義和數學抽象符號聯繫到一起並且很熟練地使用它們。所以除了算術，數學的力量只是掌握在少數的科學家和工程師的手上（雖然嘴上不說，但是他們中的大多數也是飽受抽象符號的煎熬）。
現在我們將不再受限於紙和筆。抽象的符號變換不應該再是理解數學的唯一手段了。數學需要有新的形象。
項目
Kill Math 是一個綜合的工程項目，目標是幫助人們通過更具體的表現以及更符合直覺的形式來探索和解決一些有意義的量化問題。長遠的目標則是希望能夠建立一套不同於現有的符號數學體系的可廣泛使用並自動呈現的可視化數學表示方法。
在未來的某一天，在這篇博客內可能會有一篇介紹的文章，讓你感動到流淚。但是這篇文章還沒寫，因爲它需要大量的思考和演示示例，在此之前我需要深刻地理解我正在努力做的工作。
下面是我目前已經完成的部分：
《通過媒介來思考原本不可思考的》是一系列交互式的用於設計和理解系統的演示，並且整合了下面列出的很多工作。
《擦寫計算器》 演示了在不使用符號變量的情況下解決實際的代數問題。不是求解 x 和 y，而是通過交互的方式調整變量。
《動態系統的互動探索》演示了一個控制微分方程的工具，其中的每一個變量都用圖表顯示，每個參數都有一個旋鈕，可以實時地進行調整。這套工具可以幫助用戶瞭解參數是如何影響整個系統行爲的。
《如何運用抽象》是一篇可交互的博客，使用系統可視化來幫助設計和理解一個系統。
《將模擬作爲一種實用工具》是這篇文章的早期形態，這個項目主要是爲了驗證想法。
下面是一系列關於這個數學主題的博客漫談，我希望吸引更多志同道合的人，而不是爲了說服那些持懷疑態度的人。(在懷疑論者看到更多的例子之前，他們可能會拒絕被說服。)
我計劃在不同的應用領域和數學領域收集一些有意義的問題，按照這裏的哲學針對每一個問題，設計出一種解決方案，將此解決方案與傳統解決方案進行比較。我希望在這個過程中出現的一些技術和設計模式可以爲將來一般性的的框架提供參考。
跟往常一樣，如果你在用類似的方式思考和工作，我很想看看你想出了什麼有意思的點。
一些附加的想法發表在 Fast Company 雜誌的這篇文章裏
雜記
語言與內在解釋 (1)
理解和預測數是一種相當強大的力量。目前，這種能力掌握在極少數能夠熟練運用數學抽象符號的人手中。
相比之下，考慮識字能力。從一個不在同一地點或時間的人那裏接收思想的能力同樣是一種巨大的力量。識字率上升帶來的巨大社會影響也是衆所周知的。
語言素養比數學素養更加普及。幾乎所有“受過教育”的人都能閱讀，大多數人甚至可以在某種程度上寫作。但是大多數受過教育的人除了算術之外沒有掌握什麼有用的數學技能。
寫作和數學都是基於符號表示的系統。但我認爲語言更加自然，因爲語言的符號直接映射到單詞或音素上，這是人類與生俱來的能力。我想，閱讀和聽別人說話或看手語有着相同的心理機制。
我不認爲每個人在處理數學符號上有着相同的天賦【注1】。相反，我們傾向於闡釋隱含的物理含義，這兩種隱喻都適用於使用抽象符號的機制（例如，“移動”一個因子到等式的另一邊，“消除”兩個因子，等等）和符號的語義解釋（例如，指數“上升”，或者公式的可忽略項）。在一定程度上，一個人的數學能力和感受這些物理隱喻的符號緊密相連，從而使抽象的更具體。
【注1】: 西蒙·佩伯特可能不會同意這樣的觀點，他認爲對於在 “Mathland” (一個沉浸式的數學互動環境) 中長大的孩子看來，使用數學就像是在法國說法語一樣，可以熟練地使用抽象的數學符號。我可能反駁說，在南極長大的孩子可能會更抗凍，或許人們並不需要這種抗凍能力。
我相信這兩種精神上的扭曲都是在紙筆技術下的產物。一個人不應該手動地去變換符號和數學推導。因爲這些工作最好完全由軟件自動完成，或者像玩滑動拼圖遊戲一樣，有一個可交互的帶引導的軟件。可能更具爭議的是，我認爲一個人不必去理解抽象符號的含義。相反地，動態圖、圖表、可視化模型和視覺特效就可以闡釋事物本質。比如數值之間的關係、指數上升和公式的可忽略項應該被直觀地用眼睛看到，而不是單純地靠腦海想象。
語言與內在解釋 (2)
人類是爲語言而生的 -- 我們是處理符號的機器 -- 所以我不能說“符號的壞話”。我感覺有一些東西需要親眼所見或者親身體會才能夠真正的理解與融會貫通。並且一些東西是可以很容易地繪製或者製作，對於那些缺少使用晦澀難懂的專業語言的經驗的人來說，這很難用符號表述。
我認爲數量和度量就屬於這個範疇。例如長度 1m 和 1mm 的符號表示與直接觀察這兩種長度相比 -- 前者只是一頁紙上的數字，而後者可以讓你直觀地感受。你覺得大多數人能夠從符號上，感受和理解 $1B 和 $1T財政救助款之間的區別嗎？事實上它倆之間差了整整 3 個數量級。
你需要使用本能的直覺去理解一個問題。一個優秀的電路設計師能夠感知到一個電路是如何運作的。當他們看着電路原理圖的時候，就能感受到電壓的脈動，就好像看着蹺蹺板或者水泵運作一般。然而這需要多年的經驗來形成這種當你看着符號的時候就能理解符號含義的直覺。
同樣地，人們以前認爲去閱讀和理解巨大的數字表格是處理數據的基本技能。但是威廉·普萊費爾發明了線形圖，突然間所有人都可以通過平凡的眼睛來直觀地感受數據。
複數提供了一個很好的例子。在許多科學領域，理解抽象的複數是一項基本技能。然後 David Hestenes 站出來說：“嘿，你知道複數、四元數、泡利矩陣和其他抽象有趣的東西嗎？如果你用過克利福德代數的話，所有的這些東西都有幾何表示，並且你可以實際地體會和品味到它們。”用你愚笨的嘴去品味複數！事實上沒有人相信他，但是我相信。
我們的工具的目的就是使那些無法企及的抽象事物讓普通人也能理解，將它們轉換成我們能夠感受到的形態。顯微鏡能夠讓我們的眼睛看到微小的事物。鑷子能夠讓我們笨拙的手指夾起細微的顆粒。計算器能夠讓我們愚笨的大腦完成複雜的計算。所以我想有那麼一個工具可以讓我們普通的大腦看見和體會複雜的情景。
廚房裏的數學
在 《兒童的機器》 這本書中，西蒙·佩伯特介紹了“廚房裏的數學”。一道菜需要給 3 個人吃，但是廚師只做了 2 份菜，所以她需要將原材料的均分 2/3。一道菜需要 3/4 杯麪粉。廚師量出 3/4 杯麪粉，在櫃檯上攤開成一個圈，從圈裏拿出1/3塊，放回袋子裏。這就是 2/3 和 3/4。
有些人顯得很慌張因爲他不會使用分數，但是我發現了一個有趣的解決方案。因爲分數是具體的、可見的、有形的和直接的。傳統的方法就是分子分母上下同時約掉 3，但是這沒有任何的物理意義。
我想要創造出一個環境來增強廚房裏的數學。
數學的藝術
這個項目沒有處於自身觀點考慮來攻擊應用數學。我不介意數學娛樂化或者藝術化。我一直出於個人興趣在學習數學；我始終在以數學爲樂。我對洛克哈特的悲歌產生了強烈的共鳴，並且我很喜歡 Vi Hart 和 Mike Keith 等人所做的工作。在模式和規則中隱藏着美感；但是發現這種美是有挑戰的。我可能會因爲盲目的傳統和缺乏想象力的原因，迫使我使用古老的傳統方式來完成這樣的藝術形式。
以武術爲例，這是另一種根據實際需要而發展出來的藝術形式。就像數學一樣，人們練習武術可能是以爲了身體或精神上的鍛鍊，爲了挑戰和掌握一項技能，爲了它的優雅和美麗，或者作爲一種社交活動爲目的。與數學不同的是，我們意識到武術的精神已經發生了改變，因爲隨着技術的進步產生了更多教訓人的方式。
（與數學不同的是，我們不會強迫地球上的每一個孩子上 12 年的課，那些在藝術方面不擅長的孩子也不會感到羞恥和低人一等。）
可能令人尷尬的個人往事
當我讀高中的時候，我每週會去幾次當地的大學學習微分方程。有一天，老師解完一個二階方程式：
他很隨意地提出了一個問題：“你爲什麼認爲這個解有兩個任意常數？”
對這個問題我感到很疑惑，我認爲答案本該如此呀。我能看出解有兩個自由度，我能理解到這個程度，但是我從來沒想到還有更深層次的原因。
老師然後說道，“因爲你積分了兩次”。然後他就開始繼續講其他的東西了，但是我小腦袋裏已經滿滿都是問號。
我從來沒有想過通過積分來求解微分方程。因爲它看起來並不像積分。我知道積分是什麼樣的 -- 積分就是把東西都累加起來，就像往水槽里加水一樣。
並且我知道方程直觀感受起來是什麼樣的 -- 它就像天平，慢慢地擺動越來越小，最後停了下來。
後來我上了大學，從學校畢業後，開始了工程師的職業生涯，我沒有被要求解上百上千個的微分方程。我理解了微分和積分在形式上的關聯，但是我不知道我是否可以直覺感受到它。
後來有一天，我無意中讀到斯托加茨的書 《Nonlinear Dynamics and Chaos》。在書中他問道，如何求解下列的微分方程：
隨後他說，你不要這麼做。它是非線性的。我們單單變換公式的方法不管用了。你需要把二階的方程分解成兩個一階微分的方程式。
畫出相位空間的軌跡圖，然後你就能直觀地感受到整個系統的運作方式。
在軌跡的每一點上，鼠標在水平和垂直方向都被微分推進了一點點，整合起來就像 LOGO 語言的小海龜在相位空間運動一樣。
爲什麼我整個職業生涯都在整合一個我們看不見的東西呢？對我而言，如果不在相位空間理解微分方程就像是沒聽過一首歌卻要做音樂鑑賞一樣。
回想多年前我的老師提出來的問題：“爲什麼解是兩個任意常數？”答案就很顯然了：你必須選擇軌跡得起始點，兩個常量就像是小海龜做積分時的座標 x 和 y 一樣。我很多年以前就解決了“初值問題”，我卻從來沒有切身體會過這個初值。
教育和命令行
當這些筆記第一次發表的時候，我收到了很多讀者的反饋。但是大多數的反饋都是以爲爲我想要變革 數學教育。有一個部分我簡短切題地說道這個項目不是關於教育的，其他地方我沒有提到過教育。
我發現這很令人費解。如果我提出一種新的駕駛汽車的方式（比如，我說方向盤這東西已經過時了，應該被替換爲 Wii 遊戲手柄），應該不會有人認爲這是談論 汽車司機教育 吧。甚至沒有人會提到教育二字。他們可能會思考這是否是一種開車的好方法。
但是當說道一種新的理解數學的方式時，人們總是開始聯想到教室和課程。
有一點尤其奇怪，當今解決實際生活中的數學問題總好的工具竟然是是電子表格。如果我需要一個新的形式的電子表格，同樣，沒有人會說這是關於教育的。
（這種對教育領域的重新定位也發生在對一個動態系統的交互探索的演示中。肯定我本可以做得更好的：“這是一個原型工具，工程師和科學家可以對他們正在進行工程和科學系統進行建模和探索”。但是我認爲這更加貼切這個工具的本意而不是僅僅“可視化 Lotka-Volterra 方程”。大多數的讀者都想要像 Wolfram 那樣的演示，對某個具體的數學問題進行可視化。這種感覺就像，我展示了一個全新的漂亮的不粘鍋，後來每個人都上來問我要一盤美味的炒蛋。）
如果讓我猜測爲什麼“數學改革”被誤解爲“數學教育改革”？我推斷大多數人可能只在學校裏和數學打交道。就像校園物理或者校園化學一樣，數學被視爲一門課來教授，而不是強調它是一種工具。人們在算術之外並沒有在實際生活中使用數學，就好像不使用平方反比定律或者週期表一樣。
這就是這個項目出發的前提 -- 大多數人們沒有使用數學。但是如果數學被以一種更好的方式教學的話，人們可能會把數學用得更好！我（包括整個項目）的立場是：不。教學目前你想要的數學抽象符號和方法 -- 他們將仍然沒有作用。使用糟糕的用戶界面的教學方式仍然是沒有用 -- 因爲沒有展示出用戶需要看到的東西，不符合用戶大腦裏所想的內容，沒有呈現出用戶可以採取的操作。
對於大多數人來說 UNIX 命令行仍然是沒有用的。有很多方法可以讓普通大衆使用計算機的強大之處，而不必教會每個人都去使用命令行。有一個很好的方法就是 -- 設計更好的用戶界面，更多易訪問的應用程序，更高級的抽象。直接形象地和真實地表現事物。
所以當今的數學就像是命令行，我們需要更好的用戶界面。
別人說過的觀點
奧利弗·斯蒂爾: 郵件
所有的不具體的抽象事物都是很難去想象的...我認爲數學家是那些可以成功地弄清楚如何具體地思考抽象事物的人，所以抽象就不再抽象。我相信數學思維包括學習具體地思考抽象事物的能力，通常使用多種表示法 -- 如何將更多的事情視爲“事情”的一部分。所以與其說避免抽象，更重要的是接納抽象並且將抽象具體化...具體化抽象事物的一種方法是在旁邊放一個已經具體化的實例。
大衛·赫斯頓斯和蓋瑞特·索布奇克: 《克利福德代數到幾何微積分：統一的數學語言》
克萊恩對數學結構和歷史的開創性研究揭示了數學發展和分支的兩個主要過程...一種強調代數結構，另一種強調幾何解釋。克萊恩的分析表明，在數學的歷史發展過程中，一個過程交替地支配着另一個過程。但這兩個過程不應相互排斥。毫無疑問事實上每一個過程都是建立在人類思維的兩大能力之一上的：語言能力和空間感知能力。從心理學的角度來看，代數與幾何的融合是非常基本的所以我們可以說：沒有代數的幾何是愚蠢的！沒有幾何的代數是盲目的！，
大衛·赫斯頓斯: 《改變物理的數學語言》
在物理課程中，數學被認爲是理所當然的 -- 這是一成不變的真理。數學對我們的物理世界的深刻影響卻從未被認真分析過。今天使用的數學工具是在過去被髮明出來解決舊的問題，但是很有可能不太適合今天新的問題...
我們不必深入研究物理學的歷史來證明數學對物理的深遠影響。因爲有兩個著名的例子足以說明這一點：解析幾何和微積分的發明是牛頓創立經典力學的基礎，張量分析的發明對愛因斯坦創立廣義相對論至關重要...
我想通過引用這兩個例子來說明的一點是，如果沒有基本的數學概念，這兩個物理理論實際上是不可想象的。我們使用的數學建模工具曾經擴展但也限制了我們認知世界的能力。數學的侷限性在於，那些爲經典力學和解析幾何學提供的數學支撐的理論方法已經不適用於廣義的相對理論了。當今在物理學使用的數學工具可能在概念上就存在侷限性。
艾倫·凱：《用圖像製造符號》
法國著名數學家雅克·阿達瑪在他晚年時決定投票選出他的 99 個同伴，作爲地球上 100 位最偉大的數學家和物理學家，雅克問他們：“你們的工作怎麼樣？”。他們都是私交，所以紛紛回信。只有一百人中的幾個人聲稱他們使用數學符號。這着實令人驚訝。他們中的大多數人以意象或比喻的方式來理解數學。有 30% 的人包括愛因斯坦都是這樣。愛因斯坦說道，“我對數學有肢體一般的感受。”愛因斯坦就像感知自己的手臂和手指一樣去感受抽象的空間。
[做某事 > 圖像 > 符號]中令人難過的部分就是，美國的所有孩子都在以符號的方式去學習數學和物理。但沒有一個有創造性的數學家或者物理學家在以這種方式學習...他們使用符號的方式交流，但是實際研究的時候就不是這樣。太多的教育是建立在這種規則之上了，僅僅是因爲我們以談話的方式來交流，但是這並不意味着只靠說和聽去教學。
威廉·瑟斯頓：《論數學的證明和發展》
當有一個重要的理論被證明的時候，通常該解法可以很快地在相關子領域內傳播。這個證明如果是通過溝通交流的話可以在一小時之內就被該子領域的其他研究人員理解。但是如果寫成 15 或 20 多頁的論文，人們可能需要好幾個小時甚至好幾天才能夠理解掌握。
爲什麼非正式的討論和直接磕論文之間有這麼大的區別呢？當一對一溝通的時候，人們除了數學語言還可以用很多其他的方式來交流。他們可以用手勢、畫圖表、用肢體語言發出聲響這些方式交流。溝通在這裏就是雙向的，人們可以專注於他們最關心的點上。以面對面的溝通方式，就可以更好地傳達正在發生的事情，不僅在邏輯和語言方面，而且在其他心理層面。
在會談中，人們變得更加拘謹和正式。數學的受衆通常不善於提出大多數心中所關注的問題，而演講彙報的人通常準備了一個不切實際的大綱，即使他們被問到問題，也會迴避相關的回答。
在論文中，人們會仍然會比較正式。寫作者將他們的想法翻譯成符號和邏輯表達，讀者努力地要將它們翻譯回來。
理查德·漢明：《數學的不合理有效性》
有必要強調一點，數學的前提假設不是摩西從西奈山上取下來的石板。一開始我們頭腦中有了一個模糊的概念，然後我們各種各樣的假設集合，最終慢慢地收斂成一個特定的集合。在嚴格的假設方法中，原始模糊的的概念會被後來假設所定義的內容代替。這就使得很難有概念上的發展，進而減緩了數學的發展。並不是說假設的方法是錯誤的，只是應該清楚認識到它的任意性，注意當結論慢慢變得清晰時我們應該準備改變假設。
理查德·漢明：《科學與工程的藝術》
當數字濾波器首次出現時，它們僅僅被視爲經典模擬濾波器的一個變種；人們不認爲它本質上有什麼新意或者不同。這就和早期人們對計算機的認知錯誤一樣。多次有人跟我說，計算機只是一個大型的計算的臺式計算器，後來我都厭倦了這種說法。他們說，“任何機器能做的事，人工也能辦到”。但是這種觀點的人忽視了機器與人工相比，在速度、精度、可靠性和低成本上具有巨大的優勢。一般來說，一個數量級的變化（10 倍）將會產生本質上的影響，更不用說計算機比人工計算快了許多許多倍了。那些聲稱沒有本質區別的人從未對計算機的發展做出過任何重大貢獻...
這是一個常見的、無休止的錯誤；人們總是想認爲新事物就要像過去的東西一樣 -- 他們習慣於處在大腦的舒適圈 -- 因此他們抗拒對眼下正在發生的新領域新事物做出任何大的貢獻。
史蒂文·斯托加茨: 《非線性動力學與混沌理論》
最後
感謝你能夠看到這裏，我們在此相遇。這篇文章是我在 codelab-mindstorms 項目裏提交的一篇譯文。如 wwj718 提到的，在編程教育領域有很多“編程提高邏輯思維的”陳詞濫調，其實這個在這個領域有一羣傑出的先驅做了大量的工作，但是這些卻漸漸被世人遺忘。
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