Acwing-126. 最大的和（二維前綴和）

126. 最大的和

給定一個包含整數的二維矩陣，子矩形是位於整個陣列內的任何大小爲1 * 1或更大的連續子陣列。

矩形的總和是該矩形中所有元素的總和。

在這個問題中，具有最大和的子矩形被稱爲最大子矩形。

例如，下列數組：

0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 

其最大子矩形爲：

9 2 
-4 1 
-1 8 

它擁有最大和15。

輸入格式

輸入中將包含一個N*N的整數數組。

第一行只輸入一個整數N，表示方形二維數組的大小。

從第二行開始，輸入由空格和換行符隔開的$N^2$個整數，它們即爲二維數組中的$N^2$個元素，輸入順序從二維數組的第一行開始向下逐行輸入，同一行數據從左向右逐個輸入。

數組中的數字會保持在[-127,127]的範圍內。

輸出格式

輸出一個整數，代表最大子矩形的總和。

數據範圍

1≤N≤1001≤N≤100

輸入樣例：

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2

輸出樣例：

15

難度：簡單

時/空限制：1s / 64MB

總通過數：168

總嘗試數：293

來源：《算法競賽進階指南》

鏈接：

https://www.acwing.com/problem/content/128/

思路：

方法一：
我們可以使用二維前綴和來做，我們需要遍歷子矩形的左上點（i, j）和右下點(k,p)，通過二維前綴和來求出矩形中元素的和。

我們可以推出$F[i][j] = F[i-1][j] + F[i][j-1] + A[i][j] - F[i-1][j-1]$
當我們求左上點爲(i,j)，右下點爲(k,p)的矩陣和時，我們可以得出
$val =F[k][p]- F[k][j]-F[i][p]+F[i][j]$
直接暴力找兩個點，複雜度$O(n^4)$

代碼:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
int a[maxn][maxn];
int sum[maxn][maxn];
const int INF = -0x3f3f3f3f;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];

            sum[i][j] = a[i][j]+ sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1];
        }
    }
    int maxx = INF;
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= n; j++) {
            for(int k = i; k <= n; k++) {
                for(int p = j; p <= n; p++) {
                    int ans = sum[k][p] - sum[k][j] - sum[i][p] + sum[i][j];
                    if(ans > maxx)
                        maxx = ans;

                }
            }
        }
    }
    cout << maxx << endl;
    return 0;
}

方法二：
我們可以先用求一維最大連續子序列的和來求。二維我們可以把幾層的高度和爲一層來算。這樣我們就變爲了一維。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 109;
int a[maxn][maxn];
int sum[maxn][maxn];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
            a[i][j] += a[i-1][j];
        }
    }
    int maxx = -0x3f3f3f3f;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = i; j <= n; j++) {
            int last = 0;
            for(int k = 1; k <= n; k++) {
                last = max(0, last);
                int ans = a[j][k] - a[i-1][k];
                maxx = max(maxx,ans+last);
                last += ans;
            }
        }
    }
    cout << maxx << endl;
    return 0;
}