二分查找

定義

二分查找：
思路很簡單，細節是魔鬼。
基本框架：

def find(nums,target):
    left = 0
    right = ***
    while left ** right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            ***
        elif nums[mid] > target:
            right = ***
        elif nums[mid] < target:
            left = ***
    return ***

以上框架中的**代表的內容就是細節，需要注意

應用

尋找一個數

def find(nums,target):
    left = 0
    right = len(nums) - 1   # 注意1
    while left <= right:    # 注意2
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] > target:
            right = mid - 1   # 注意3
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1   # 注意4

注意1：
right是數組長度 - 1，用的是左閉右閉的區間。
注意2：
用的是left <= right，即終止條件是left = right + 1。因爲除了找到後結束搜索，還有一種情況是搜索區間爲空，當區間爲[right+1,right]時肯定爲空了；但是如果用的是left < right，即終止條件是left = right ，當區間爲[right,right]時區間並沒有空，還有一個索引沒有判斷。
所以如果用left < right，則是以下代碼：

注意3和注意4：
這個比較好理解。因爲mid這個位置已經搜索過，所以沒必要再搜索。

該算法是有缺陷的，對於所求目標在數組中重複的這種情況，比如[1,2,2,2,3]，此時用這個算法返回的索引是2，但是有時候我們想找到target的左側邊界，比如索引1或者是target的右側邊界，比如索引3。

尋找左側邊界

如果要找一個有序數組中小於某個數的個數有多少個，則用以下代碼：

def find(nums,target):
    left = 0
    right = len(nums)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            right = mid
        elif nums[mid] > target:
            right = mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
    return left  # 返回right也可以，因爲left == right

所以在以上代碼上進行改進就能得到某個數在數組中的左側邊界：

def find(nums,target):
    left = 0
    right = len(nums)         # 注意1
    while left < right:      # 注意2
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            right = mid      # 注意3
        elif nums[mid] > target:
            right = mid      # 注意4
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1   # 注意5
    if left == len(nums):
        return -1
    return left if nums[left] == target else -1 

注意1：
right是數組長度 ，用的是左閉右開的區間。
注意2：
用的是left < right，即終止條件是left = right 。因爲除了找到後結束搜索，還有一種情況是搜索區間爲空，當區間爲[right,right）時肯定已經爲空了。
注意3：
當找到目標時並不是返回已找到，而是要繼續在左側尋找，看是否還有，因爲要得到左側邊界。要切記是左閉右開。
注意4和注意5：
左閉右開，所以左面需要加一，右面不需要，因爲取不上。

尋找右側邊界

def find1(nums,target):
    left = 0
    right = len(nums)         
    while left < right:      
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            left = mid + 1         # 注意1
        elif nums[mid] > target:
            right = mid      
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1 
    if left == 0:
        return -1
    return (left -1) if nums[left-1] == target else -1   # 注意2

注意1：
當找到目標時並不是返回已找到，而是要繼續在右側尋找，看是否還有，因爲要得到右側邊界。要切記是左閉右開。
注意2
return left - 1 中，寫成return right - 1 也可以，因爲left = right，爲什麼這樣就能得到右側邊界呢？因爲我們對left的更新是left = mid + 1，所以while循環結束時num[left]一定不等於target了。而 num[left-1]有可能是target。

總結

1. 最基本的二分查找算法：
   初始化爲 right = len(nums) - 1，所以決定了搜索區間是 [left, right]，所以決定了 while (left <= right)，同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid-1，因爲我們只需找到一個 target 的索引即可
   所以當 nums[mid] == target 時可以立即返回。
2. 尋找左側邊界的二分查找：
   初始化 right = len(nums)，所以決定了搜索區間是 [left, right)，所以決定了 while (left < right)
   同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid ，因爲我們需找到 target 的最左側索引，所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回，而要收緊右側邊界以鎖定左側邊界。
3. 尋找右側邊界的二分查找
   因爲我們初始化 right = len(nums)，所以決定了我們的搜索區間是 [left, right)，所以決定了 while (left < right)，同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid，因爲我們需找到 target 的最右側索引，所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回而要收緊左側邊界以鎖定右側邊界。又因爲收緊左側邊界時必須 left = mid + 1，所以最後無論返回 left 還是 right，必須減一。