RMQ算法入門（dp）

在開始學LCA的時候，看別人的博客，知道了RMQ這個算法，在學LCA的時候會用的到，於是我就先把這個算法給學了，一百度，原來RMQ算法實現的功能，和線段樹差不多，還有這個算法也是dp，dp無處不在啊，

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對於長度爲n的數列A，回答若干詢問RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回數列A中下標在i，j之間的最小/大值。這兩個問題是在實際應用中經常遇到的問題，下面介紹一下解決這兩種問題的比較高效的算法。當然，該問題也可以用線段樹（也叫區間樹）解決，算法複雜度爲：O(N)~O(logN)，這裏我們暫不介紹。
這個算法怎麼實現的呢，其實本質上我感覺和線段樹實現的而功能差不多，

這裏我們都直接當最大值求了哈，其實最小值也一樣。

我們先定義一個數組，dp[i][j],i代表的意思是從數組的第i個位置開始，j代表的是長度爲2^j，所以dp[i][j]帶表的意思就是數組的a[i]~a[i+2^j-1]    的最大值，這個數組的初始狀態應該是什麼呢，就是dp[i][0]=a[i]，

剛開始我們可以先求長度爲1的最大值，然後我們可以根據長度爲1的最值求長度爲2的，再求長度爲4的，再求長度爲8的，依次類推,

dp[i][j]    的長度一定是偶數，（這個很容易知道吧，這裏就不證明了，）既然他是偶數那麼我們就可以把這個dp[i][j]所表示的序列從中間給一分兩半，那麼句變成了

dp[i][j]  =  max  (  dp[i] [j-1] ,  dp[i+(1<<(j-1))]  [j-1])

這個式子就是這個算法的精華所在，一定要把這個式子給理解了，

現在等於說預處理我們處理好了，然後我們就需要開始查詢了，

查詢其實也很簡單的，你想一下，不管你給的任何區間，只要我們用兩個dp表示就一定可以表示出來的

例如你要求   [l , r] 這個區間的最大值，

k=int(  (log2)  (r-l+1)  )

sum=max(dp[l][k] , dp[r-(1<<k)+1]  [r]   )

這就是查詢了，

下面給一道題具體的練習一下吧，

poj3264

這道題就是典型的RMQ算法的例題，當然用線段樹也可以解，不過代碼量也有點複雜，

下面給出AC代碼，

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define met(A,AA) memset(A,AA,sizeof(A))
const int maxn=50004;
int maxsum[maxn][20];
int minsum[maxn][20];
int n;
void B()
{
    for(int j=1;j<20;j++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if((i+(1<<j)-1)>n) break;
            maxsum[i][j]=max(maxsum[i][j-1],maxsum[i+(1<<j-1)][j-1]);
            minsum[i][j]=min(minsum[i][j-1],minsum[i+(1<<j-1)][j-1]);
        }
    }
}
int main()
{
    int t,r,l;
    met(maxsum,0);
    met(minsum,0);
    scanf("%d %d",&n,&t);

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&maxsum[i][0]);
        minsum[i][0]=maxsum[i][0];
    }
	 B();
    while(t--)
    {
        scanf("%d %d",&l,&r);
        int k=int((log(r-l+1.0))/log(2.0));
        int MAX,MIN;
        MAX=max(maxsum[l][k],maxsum[r-(1<<k)+1][k]);
        MIN=min(minsum[l][k],minsum[r-(1<<k)+1][k]);
        printf("%d\n",MAX-MIN);
    }
    return 0;
}