hdu-5667（矩陣快速冪）

前兩天就已經學習了矩陣快速冪，當時的我就學了個矩陣快速冪的模板，而且我還以爲我自己學會了，實在是太搞笑了，矩陣快速冪最難的地方就是構造矩陣，而我根本一點都不會構造矩陣，沒辦法，從新學唄，

hdu-5667

這個題，我個人感覺也挺難的，因爲矩陣好構造，這就是這個題的難點吧，

思路：發現a^b，和f[i-1]^c之類的東西，我們很明顯吧這個冪變成乘，很自然的想到對數。問題是對什麼取對數，最後發現對a取對數是合適的。

loga（fi）=loga（a^b*f[i-1]^c*f[i-2]）=loga(a^b)+loga(f[i-1]^c)+loga(f[i-2])，我們設k[i]=loga(fi)，所以k[i]=b+c*k[i-1]+k[i-2]。我們可以通過矩陣快速冪算出k[n]，然後a^k[n]=f[n]，可以直接用快速冪算出。

這裏注意一下，由於k[n]非常大，所以爲了使得a^k[n]%p==(a^(k[n]%y))%p，根據費馬小定理如何gcd(a,p)=1，那麼 a^(p-1)≡1（mod p），所以a^(p-1)%p=a^0%p，所以循環節爲p-1，所以a^(k[n]%(p-1))%p。

這裏還有注意一下如果a%p==0，a^(k[n]%(p-1))%p當k[n]=p-1的時候，a^(k[n]%(p-1))%p=1，但是實際上a^(k[n]%(p-1))%p=0，會造成錯誤，所以需要特判a%p==0的情況，不過這個題好像後臺題目有點水，不必判斷也能過貌似，所以代碼裏面沒有體現

我們可以得出一個結論，那就是，a^(k[n]%(p-1))%p==(a^(k[n]%y))%p 前提p爲質數，

廢話不多說了下面直接給出代碼吧，注意當n=1和n=2的時候要記得分類討論，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define met(Q,QQ) memset(Q,QQ,sizeof(Q))
ll n,a,b,c,p,mod;
struct matrix
{
    ll mat[5][5];
};
matrix cheng(matrix A,matrix B)
{
    matrix C;
    met(C.mat,0);
    for(int i=1;i<=3;i++)
        for(int j=1;j<=3;j++)
            for(int k=1;k<=3;k++)
                C.mat[i][j]=(C.mat[i][j]+A.mat[i][k]*B.mat[k][j])%mod;
    return C;

}
matrix P(matrix A,ll n)
{
    matrix C;
    met(C.mat,0);
    for(int i=1;i<=3;i++)
        C.mat[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) C=cheng(A,C);
        A=cheng(A,A);
        n=n/2;
    }
    return C;
}
ll PP(ll a,ll n)
{
    ll sum=1;
    a=a%p;
    while(n)
    {
        if(n&1) sum=sum*a%p;
        a=a*a%p;
        n=n/2;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&n,&a,&b,&c,&p);
        mod=p-1;
        matrix A;
        met(A.mat,0);
        A.mat[1][1]=c;A.mat[1][2]=1;
        A.mat[1][3]=b;A.mat[2][1]=1;
        A.mat[3][3]=1;
        if(n==1)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(n==2)
        {
            ll sum=PP(a,b);
            printf("%lld\n",sum);
            continue ;
        }
        A=P(A,n-2);
        ll sum=A.mat[1][1]*b+A.mat[1][3];
        sum=PP(a,sum);
        printf("%lld\n",sum);


    }
    return 0;
}