龍格-庫塔方法

龍格-庫塔方法

$y(x)$ 是關於 $x$ 的連續函數，$f\left(x_n, y\left(x_n\right)\right)$ 表示在 $x_n，y\left(x_n\right)$ 處的導數。

顯示龍格-庫塔法的一般形式

  用積分形式表示增量：
$y\left(x_{n+1}\right) - y\left(x_n\right) = \int_{x_n}^{x_{n+1}}f\left(x, y\left(x\right)\right)dx$
  以上是連續函數的表達形式，我們在使用計算機解決實際問題時，通常不是連續函數，多數爲離散問題。因此，我們可以根據上式表達一個近似：
$\int_{x_n}^{x_{n+1}}f\left(x, y\left(x\right)\right)dx \approx h\sum_{i = 1}^r c_if\left(x_n + \lambda_i h, y\left(x_n + \lambda_ih\right)\right)$
  一般來說點數 $r$ 越多，精度越高，上式右端相當於增量函數 $\varphi\left(x_n, y_n, h\right)$ ，因此有以下不是嚴格意義上的等式：
$y_{n+1} = y_n + h \varphi\left(x_n, y_n, h\right) \tag{1}$
  其中
$\begin{array}{lcl} \varphi \left(x_n, y_n, h\right) = \sum_{i = 1}^r c_iK_i \\ \tag{2} K_i = f\left(x_n + \lambda_ih, y_n + h\sum_{j = 1}^{i - 1} \mu_{ij}K_j\right), \ \ \ \ \ i = 2, \dots, r, \end{array}$
這裏 $c_i, \lambda_i, \mu_{ij}$ 均爲常數，$(1),(2)$ 稱爲 $r$ 級顯示 龍格-庫塔（Runge-Kutta）法，簡稱 R-K 方法。

四階顯示 R-K 方法

  要得到四階顯示 R-K 方法，必須取 $r=3$，此時公式 $(1),(2)$ 表示爲：
$\left\{ \begin{array}{lcl} y_{n+1} = y_n + h\left(c_1K_1 + c_2K_2 + c_3K_3+c_4K_4\right) \\ K_1 = f\left(x_n, y_n\right) \\ K_2 = f\left(x_n + \lambda_2h,y_n + \mu_{21}hK_1 \right) \\ K_3 = f\left(x_n + \lambda_3h,y_n + \mu_{31}hK_1 + \mu_{32}hK_2 \right) \\ K_4 = f\left(x_n + \lambda_4h,y_n + \mu_{41}hK_1 + \mu_{42}hK_2 + \mu_{43}hK_3 \right) \end{array} \right.$
  經過複雜的數學演算，可以到處各種四階龍格-庫塔公式，下列經典公式是其中常用的一個：
$\left\{ \begin{array}{lcl} y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\left(K_1 + 2K_2 + 2K_3+K_4\right) \\ K_1 = f\left(x_n, y_n\right) \\ K_2 = f\left(x_n + \frac{h}{2},y_n + \frac{h}{2}K_1 \right) \\ K_3 = f\left(x_n + \frac{h}{2},y_n +\frac{h}{2}K_2 \right) \\ K_4 = f\left(x_n + h,y_n + hK_3 \right) \end{array} \right.$