2019牛客暑期多校訓練營（第一場）----C-Euclidean Distance

首先發出題目鏈接：
鏈接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/C
來源：牛客網
涉及：數學，gcd

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題目如下：



如題所示，題目想要得到那個最短距離的值，而不是P點的座標，注意答案如果是整數就輸出整數，否則輸出分數

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設距離爲X，則
$X_{min}=(a_1-p_1)^2_{min}+(a_2-p_2)^2_{min}+...+(a_n-p_n)^2_{min}$
故需要求得$(a_1-p_1),(a_2-p_2),...,(a_n-p_n)$這一些列數的最小值

且：
　
　1.$p_1+p_2+...+p_n=m$（注意，因爲我沒有把所有的$a_i$除以m，所以所有的p值加起來等於m，最後答案再除以m就ok）
　
　2.由於$p_1,p_2,...,p_n \ge0$，故$(a_1-p_1)\le a_1,(a_2-p_2)\le a_2,...,(a_n-p_n)\le a_n$

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也就是說，題目可以變成，把m的值分配給每一個$p_i$，讓每一個$\left\vert a_i-p_i\right\vert$儘可能的小，先對所有$a_i$有大到小排序，如圖所示（n=5）：

在分配的時候，我們想讓每一個$a_i$都儘量的小，所以我們先將m分配給比較大的$a_i$（即排序後的$a_1$）

讓比較大的$a_i$減小一個數b，其收益比讓比較小的$a_i$減去一個數b的收益大，可以證明:
假設$a_1$比$a_2$大，由於收益（最小距離）是平方和狀態，則明顯$a_1^2-(a_1-b)^2>a_2^2-(a_2-b)^2$

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所以首先我們將m的值分配一些給$a_1$來減小，讓$a_1$減小到和$a_2$一樣大，於是

假設此時發現m分配一些值之後，m仍然沒有等於0，此時還需要繼續分配，但是，此時要將剩下的m的值同時分配給$a_1，a_2$，讓它們同時減小。

也可以證明同時減小比其中一個減小的收益高。

於是

到了此時，仍然有剩餘的值，那就讓$a_1,a_2,a_3$同時減小，但是發現，三個值減小到0的時候，m還有剩餘的值，此時就需要將$a_1,a_2,a_3$減小到負數了，那麼$\left\vert a_1\right\vert \left\vert a_2\right\vert \left\vert a_3\right\vert$的值會增大（此時的減小就成爲了虧損），但是由於m的值必須全部分配完畢，所以必須得減小。

也可以證明當$a_1,a_2,..,a_n$都小於0時，讓它們同時減小的虧損比讓某一個減少的虧損小。

假設此時m剩餘的值，已經不足讓$a_1,a_2,a_3$減小到$a_4$那麼大，於是，在減小到某一值就會停止減小

此時，m=0，得到最短距離，距離爲
$\frac {a_1^2+a_2^2+..+a_5^2}{m^2}$
按照這種思路，不管n爲多少，只要將m分配給所有最大的$a_i$，讓他們同時減小，直到m=0，那麼距離就爲$\frac {a_1^2+a_2^2+..+a_n^2}{m^2}$

sort(a+1,a+n+1,greater<int>());//由大到小排序
for(i=1;i<n;i++){
	int x=a[i]-a[i+1];//每一個a[i]與a[i+1]之間的差值
	if(tot+x*i<=m)	tot+=x*i;//tot是m已經分配的值，tot+x*i用來判斷m還能不能分配值，使a[1],..,a[i]到a[i+1]的位置
	else	break;//不能剛好分配
}
int rem=m-tot; //m剩餘的值
//fz/fm等於前面a[1],...,a[i]最小能減少到多少
ll fz=i*a[i]-rem;
ll fm=m*i;
ll gcd=getgcd(fz*fz*i,fm*fm);
fz=fz*fz*i/gcd;fm=fm*fm/gcd;//(fz*fz*i)/(fm*fm)是前面a[1],...,a[i]對距離的貢獻
for(i=i+1;i<=n;i++)	get(fm,fz,m,a[i]);//加上後面沒有分配到值的a[i+1],..,a[n]對距離的貢獻(a[i]*a[i])/m*m

void get(ll &fm,ll &fz,ll m,ll z){//分數加法函數
	ll gcd=getgcd(fz*m*m+z*z*fm,fm*m*m);
	fz=(fz*m*m+z*z*fm)/gcd;
	fm=fm*m*m/gcd;
	return;
}

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當然，排序後分配m，將$a_1,a_2,...,a_{n-1}$都減小到了$a_n$，發現此時m還有剩餘的值，那就將$a_1,a_2,...,a_n$一起減小

此時剛好$a_1=a_2=...=a_n，i=n$

fz=n*a[n]-rem;
fm=m*n;
ll gcd=getgcd(fz*fz*n,fm*fm);
fz=fz*fz*n/gcd;fm=fm*fm/gcd;	

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舉個例子
n=3,m=10,a={1,-2,3}

1.首先將$a_1$減至$a_2$，此時m剩餘8，如圖

2.再將$a_1,a_2$減到$a_3$，此時m剩餘2

3.m還有剩餘，$a_1,a_2,a_3$繼續減小

於是最短距離爲
$\frac {(-\frac 8{3})^2·3}{10^2}=\frac {16}{75}$

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代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e4+5;
int n,m,a[maxn];//題目所給變量
ll getgcd(ll a,ll b){return (b==0?a:getgcd(b,a%b));}
void get(ll &fm,ll &fz,ll m,ll z){//分數加法函數
	ll gcd=getgcd(fz*m*m+z*z*fm,fm*m*m);
	fz=(fz*m*m+z*z*fm)/gcd;
	fm=fm*m*m/gcd;
	return;
}
int main(){
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		int i,tot=0;
		for(i=1;i<=n;i++)	scanf("%d",&a[i]);
		sort(a+1,a+n+1,greater<int>());//由大到小排序
		for(i=1;i<n;i++){
			int x=a[i]-a[i+1];//每一個a[i]與a[i+1]之間的差值
			if(tot+x*i<=m)	tot+=x*i;//tot是m已經分配的值，tot+x*i用來判斷m還能不能分配值，使a[1],..,a[i]到a[i+1]的位置
			else	break;//不能剛好分配
		}
		int rem=m-tot;//m剩餘的值
		//fz/fm等於前面a[1],...,a[i]最小能減少到多少
		ll fz=i*a[i]-rem;
		ll fm=m*i;
		ll gcd=getgcd(fz*fz*i,fm*fm);
		fz=fz*fz*i/gcd;fm=fm*fm/gcd;//約分
		//(fz*fz*i)/(fm*fm)是前面a[1],...,a[i]對距離的貢獻
		for(i=i+1;i<=n;i++)	get(fm,fz,m,a[i]);//加上後面沒有分配到值的a[i+1],..,a[n]對距離的貢獻(a[i]*a[i])/m*m
		//下面是輸出限制
		if(fm==1)	printf("%lld\n",fz);
		else	printf("%lld/%lld\n",fz,fm);
	}
	return 0;
}