2019牛客暑期多校訓練營（第一場）----F-Random Point in Triangle

首先發出題目鏈接：
鏈接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/F
來源：牛客網
涉及：概率期望

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題目如下：


題目好水啊

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首先將$\triangle_{ABC}$這樣分解，如圖所示

解釋一波：

$A',B',C'$分別爲$AB,AC,BC$的中點，$O$爲$\triangle_{ABC}$的重心

$h_1,h_0,h_2$分別爲$\triangle_{AA'B'},\triangle_{A'B'O},\triangle_{OBC}$的高，且$h_0+h_1+h_2$爲$\triangle_{ABC}$的高

$O_1,O_2$分別爲$\triangle_{AA'B'},\triangle_{A'B'O}$的重心

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首先確定一點：若P落在四邊形$AA'OB'$內，那麼$max\left\{S_{APB},S_{BPC},S_{CPA}\right\}=S_{BPC}$

然後再來判斷$h_0,h_1,h_2$之間的關係：
由於$\triangle_{A'B'O}$與$\triangle_{BCO}$相似，且$2|OA'|=|OC|$，故$h_2=2h_0$;
由於$h_1=h_0+h_2$，故$h_1=3h_0$

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1.考慮P點落在$\triangle_{AA'B'}$內

如圖所示，P點落在$\triangle_{AA'B'}$中時，$S_{PBC}$的期望剛好是$S_{O_1BC}$

此時$E_{S_{PBC}}=S_{O_1BC}=\frac {1}{2}(h_0+h_0+2h_0)|BC|=2h_0|BC|$
　
2.考慮P點落在$\triangle_{OA'B'}$內

如圖所示，P點落在$\triangle_{OA'B'}$中時，$S_{PBC}$的期望剛好是$S_{O_2BC}$

由於$\triangle_{O_2A'B'}$的高爲$\frac 1{3}h_0$，所以$\triangle_{O_2BC}$的高爲$(h_0-\frac 1{3}h_0+2h_0)=\frac 8{3}h_0$

此時$E_{S_{PBC}}=S_{O_2BC}=\frac {1}{2}*\frac 8{3}h_0|BC|=\frac 4 {3}h_0|BC|$

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由於$3S_{A'B'O}=S_{AA'B'}$，所以P點落在$\triangle_{AA'B'}$的概率爲$\frac 3 {4}$，落在$\triangle_{OA'B'}$的概率爲$\frac 1{3}$

所以P點落在四邊形$AA'OB'$的期望$E_{AA'OB'}$
$E_{AA'OB'}=\frac 1{4}S_{O_2BC}+\frac 3{4}S_{O_1BC}=\frac {11}{6}h_0|BC|$

而P點落在四邊形$AA'OB',A'OC'B,B'OC'C$的概率是相同的。
所以
$E=E_{AA'OB'}=\frac {11}{6}h_0|BC|=\frac {11}{18}S_{ABC}$
而
$36E=22S_{ABC}$

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注意，答案是long long類型，在算期望的過程中也要注意類型轉換！！

已知三點座標爲$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，則三角形面積
$S=|(x_2-x_1)*(y_3-y_1)-(y_2-y_1)*(x_3-x_1)|$

注意$(x_2-x_1)*(y_3-y_1)$和$(y_2-y_1)*(x_3-x_1)$都是long long類型

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代碼如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
	int x1,x2,x3;
	int y1,y2,y3;
	while(~scanf("%d%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3)){
		ll ans=(ll)(x2-x1)*(y3-y1)-(ll)(y2-y1)*(x3-x1);//面積與三點座標的公式求面積
		printf("%lld\n",(ll)abs(ans)*11);//答案爲22倍三角形面積
	}
	return 0;
}