本文部分內容引用自：
https://blog.csdn.net/love20165104027/article/details/79618367
https://segmentfault.com/a/1190000012754802
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求最長遞增子序列長度的方法有兩種，第一種方法的時間複雜度爲 O(n^2),第二種方法的時間複雜度爲 O(nlogn)。
第一種方法代碼實現如下：
public static void getTheLengthOfLIS(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] array = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i ++){
array[i] = scanner.nextInt();
}
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 0;
for(int i = 1; i < n; i ++){
for(int j = i; j >= 0; j--){
if(array[j] < array[i]){
dp[i] = dp[j]+1;
break;
}
}
}
int max = dp[0];
for(int i = 1; i < n; i ++){
if(max < dp[i]){
max = dp[i];
}
}
System.out.println(max+1);
}
第二種方法思想部分引用自：https://blog.csdn.net/love20165104027/article/details/79618367
思想如下：
假設存在一個序列d[1…9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出來它的LIS長度爲5。
下面一步一步試着找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變量Len來記錄現在最長算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B裏，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度爲1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1
然後，把d[2]有序地放到B裏，令B[1] = 1，就是說長度爲1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度爲2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1…2] = 1, 5，Len＝2
再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因爲1小於3，長度爲1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度爲2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1…2] = 1, 3，Len = 2
繼續，d[5] = 6，它在3後面，因爲B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1…3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1…3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3
第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了
第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。
最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1…5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
於是我們知道了LIS的長度爲5。
注意，這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入數據。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組數據沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度爲6。
然後應該發現一件事情了：在B中插入數據是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查找，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~於是算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！
代碼實現如下：
public static void getTheLengthOfLIS(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] array = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i++){
array[i] = scanner.nextInt();
}
int[] indexArray = new int[n];
indexArray[0] = array[0];
int len = 1;
for(int i = 1; i < n; i++){
int index = binarySearch(indexArray, 0, len-1, array[i]);
if(index >= len){
len++;
}
indexArray[index] = array[i];
}
System.out.println(len);
}
public static int binarySearch(int[] indexArray, int start, int end, int value){
if(start == end){
if(value <= indexArray[start]){
return start;
}else{
return start+1;
}
}
int mid = start + (end - start)/2;
if(value == indexArray[mid]){
return mid;
}
if(value < indexArray[mid]){
if(value > indexArray[mid-1]){
return mid;
}
return binarySearch(indexArray, start, mid, value);
}
return binarySearch(indexArray, mid+1, end, value);
}
上述第二種方法如果最終要獲取最長遞增子序列的具體序列的話，思想引用自：
https://segmentfault.com/a/1190000012754802
假設已知序列爲{5,1,6,8,2,4,5,10}
---------------------------------------------------------------------------
step1: 5
---------------------------------------------------------------------------
step2: 1
5 (discard)
---------------------------------------------------------------------------
step3: 1,6
---------------------------------------------------------------------------
step4: 1,6,8
---------------------------------------------------------------------------
step5: 1,6,8
1,2
---------------------------------------------------------------------------
step6: 1,2,4
1,6,8(discard)
---------------------------------------------------------------------------
step7: 1,2,4,5
---------------------------------------------------------------------------
step8: 1,2,4,5,10
---------------------------------------------------------------------------
end
每次的元素如果比已存在的序列的最後一個元素小，這個小元素更有可能構成長度較長的序列。如1,6,4,5 當序列爲1,6時將6換成4更有可能構成長度更長的隊列。
之所以要存儲後來的更小的元素爲一個新序列，是因爲可能由這個更小的元素構成的遞增子序列更長。
代碼如下：
public static void getTheLengthOfLIS(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] array = new int[n];
for(int i = 0; i < array.length; i++){
array[i] = scanner.nextInt();
}
//sequence 用於存儲每個可能的序列
ArrayList<ArrayList<Integer>> sequenceList = new ArrayList<>();
ArrayList<Integer> firstList = new ArrayList<>();
firstList.add(array[0]);
sequenceList.add(firstList);
for(int i = 1; i < array.length; i++){
for(int j = 0; j < sequenceList.size(); j++){
ArrayList<Integer> list = sequenceList.get(j);
int listSize = list.size();
if(array[i] > list.get(listSize-1)){
list.add(array[i]);
}else if(array[i] < list.get(listSize-1)){
if(listSize >= 2){
if( array[i] > list.get(listSize-2)){
list.set(listSize-1, array[i]);
}else if(array[i] < list.get(listSize-2)) {
ArrayList<Integer> addList = new ArrayList<>();
for (int k = 0; k < listSize; k++) {
if (list.get(k) < array[i]) {
addList.add(list.get(k));
} else {
addList.add(array[i]);
break;
}
}
sequenceList.add(addList);
}
}else{
list.set(listSize-1, array[i]);
}
}
}
}
int maxLength = 0;
for(int i = 0; i < sequenceList.size(); i++){
if(maxLength < sequenceList.get(i).size()){
maxLength = sequenceList.get(i).size();
}
}
System.out.println(maxLength);
//sequenceList 中最長的序列即爲最長遞增子序列。
}
感覺時間複雜度也不小，如有更好的方法，歡迎指正，謝謝。