本文部分内容引用自：
https://blog.csdn.net/love20165104027/article/details/79618367
https://segmentfault.com/a/1190000012754802
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求最长递增子序列长度的方法有两种，第一种方法的时间复杂度为 O(n^2),第二种方法的时间复杂度为 O(nlogn)。
第一种方法代码实现如下：
public static void getTheLengthOfLIS(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] array = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i ++){
array[i] = scanner.nextInt();
}
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 0;
for(int i = 1; i < n; i ++){
for(int j = i; j >= 0; j--){
if(array[j] < array[i]){
dp[i] = dp[j]+1;
break;
}
}
}
int max = dp[0];
for(int i = 1; i < n; i ++){
if(max < dp[i]){
max = dp[i];
}
}
System.out.println(max+1);
}
第二种方法思想部分引用自：https://blog.csdn.net/love20165104027/article/details/79618367
思想如下：
假设存在一个序列d[1…9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1…2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1…2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1…3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1…3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1…5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
注意，这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！
代码实现如下：
public static void getTheLengthOfLIS(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] array = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i++){
array[i] = scanner.nextInt();
}
int[] indexArray = new int[n];
indexArray[0] = array[0];
int len = 1;
for(int i = 1; i < n; i++){
int index = binarySearch(indexArray, 0, len-1, array[i]);
if(index >= len){
len++;
}
indexArray[index] = array[i];
}
System.out.println(len);
}
public static int binarySearch(int[] indexArray, int start, int end, int value){
if(start == end){
if(value <= indexArray[start]){
return start;
}else{
return start+1;
}
}
int mid = start + (end - start)/2;
if(value == indexArray[mid]){
return mid;
}
if(value < indexArray[mid]){
if(value > indexArray[mid-1]){
return mid;
}
return binarySearch(indexArray, start, mid, value);
}
return binarySearch(indexArray, mid+1, end, value);
}
上述第二种方法如果最终要获取最长递增子序列的具体序列的话，思想引用自：
https://segmentfault.com/a/1190000012754802
假设已知序列为{5,1,6,8,2,4,5,10}
---------------------------------------------------------------------------
step1: 5
---------------------------------------------------------------------------
step2: 1
5 (discard)
---------------------------------------------------------------------------
step3: 1,6
---------------------------------------------------------------------------
step4: 1,6,8
---------------------------------------------------------------------------
step5: 1,6,8
1,2
---------------------------------------------------------------------------
step6: 1,2,4
1,6,8(discard)
---------------------------------------------------------------------------
step7: 1,2,4,5
---------------------------------------------------------------------------
step8: 1,2,4,5,10
---------------------------------------------------------------------------
end
每次的元素如果比已存在的序列的最后一个元素小，这个小元素更有可能构成长度较长的序列。如1,6,4,5 当序列为1,6时将6换成4更有可能构成长度更长的队列。
之所以要存储后来的更小的元素为一个新序列，是因为可能由这个更小的元素构成的递增子序列更长。
代码如下：
public static void getTheLengthOfLIS(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] array = new int[n];
for(int i = 0; i < array.length; i++){
array[i] = scanner.nextInt();
}
//sequence 用于存储每个可能的序列
ArrayList<ArrayList<Integer>> sequenceList = new ArrayList<>();
ArrayList<Integer> firstList = new ArrayList<>();
firstList.add(array[0]);
sequenceList.add(firstList);
for(int i = 1; i < array.length; i++){
for(int j = 0; j < sequenceList.size(); j++){
ArrayList<Integer> list = sequenceList.get(j);
int listSize = list.size();
if(array[i] > list.get(listSize-1)){
list.add(array[i]);
}else if(array[i] < list.get(listSize-1)){
if(listSize >= 2){
if( array[i] > list.get(listSize-2)){
list.set(listSize-1, array[i]);
}else if(array[i] < list.get(listSize-2)) {
ArrayList<Integer> addList = new ArrayList<>();
for (int k = 0; k < listSize; k++) {
if (list.get(k) < array[i]) {
addList.add(list.get(k));
} else {
addList.add(array[i]);
break;
}
}
sequenceList.add(addList);
}
}else{
list.set(listSize-1, array[i]);
}
}
}
}
int maxLength = 0;
for(int i = 0; i < sequenceList.size(); i++){
if(maxLength < sequenceList.get(i).size()){
maxLength = sequenceList.get(i).size();
}
}
System.out.println(maxLength);
//sequenceList 中最长的序列即为最长递增子序列。
}
感觉时间复杂度也不小，如有更好的方法，欢迎指正，谢谢。