DP專題9 終 | 機器人 HDU -4576（概率DP）

本篇是一個概率DP問題，也是DP專題的最後一篇，概率DP是DP中一個較爲特殊的算法問題，混合了概率這個元素在裏面，需要對概率有比較好的理解。

 

概率DP問題很多時候會和複雜的概率計算混合在一起，要想更好的掌握只能多做相關題目，熟練掌握概率相關的知識也是很重要的一步。

概況DP是混合了概率計算和DP結構的一種算法。

本篇是一個入門題目，希望能夠讓沒接觸過概率DP的同學有個簡單瞭解。

 

Problem Description

Michael has a telecontrol robot. One day he put the robot on a loop with n cells. The cells are numbered from 1 to n clockwise.

麥克有一個遙控機器人，他把機器人放在一個圓盤上，圓盤分爲n格，如下圖所示，格子從1標記到n。
 

At first the robot is in cell 1. Then Michael uses a remote control to send m commands to the robot. A command will make the robot walk some distance. Unfortunately the direction part on the remote control is broken, so for every command the robot will chose a direction(clockwise or anticlockwise) randomly with equal possibility, and then walk w cells forward.

 

 

一開始機器人在格子1，麥克通過遙控給機器人發送m條指令。指令能夠讓機器人移動一段距離，機器人等概率的順時針或者逆時針進行移動，會向前移動w個格子。

Michael wants to know the possibility of the robot stopping in the cell that cell number >= l and <= r after m commands.

 

麥克想知道機器人停留在[l, r]區間的概率。

 

Input

There are multiple test cases. 
Each test case contains several lines.
The first line contains four integers: above mentioned n(1≤n≤200) ,m(0≤m≤1,000,000),l,r(1≤l≤r≤n).

 

第一行：格子數n，指令數m，區間l和r

Then m lines follow, each representing a command. A command is a integer w(1≤w≤100) representing the cell length the robot will walk for this command.  

 

接下來是m條指令，每條指令指的是機器人會移動m個格子。

The input end with n=0,m=0,l=0,r=0. You should not process this test case.

 

最後一行4個0表示結束

 

Output

For each test case in the input, you should output a line with the expected possibility. Output should be round to 4 digits after decimal points.

 

 

Sample Input

3 1 1 2
1
5 2 4 4
1
2
0 0 0 0

 

Sample Output

0.5000
0.2500

 

這是一個比較簡單的概率DP題目，只需要注意幾個點就能很快寫出代碼。

如下圖中的位置1，位置1的概率爲1.0，如果第一步走1格，則對於節點2來說，可能有1號位置和3號位置能夠到達2，到達2的概率即爲p(1)*0.5+p(3)*0.5，p(n)表示位置n的概率。

 

 

每一次迭代，都是如此往復，最後的結果就是將區間l/r的所有概率加起來。

 

注意可以使用滾動數組來進行空間優化。

 

0^1=1 1^1=0，如此循環替換。

 

源代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

double dp[2][220];

int main() {
    int n, m, l, r;

    while (scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &l, &r) == 4) {
        if (n == 0 && m == 0 && l == 0 && r == 0)
            break;

        // 初始化位置0的概率爲1
        dp[0][0] = 1;

        //n個格子 
        for (int i = 1; i < n; i++)
            dp[0][i] = 0;

        int now = 0;

        while (m--) {
            // 前進格子數
            int v;
            scanf("%d", &v);

            //對於每一格格子進行計算 
            for (int i = 0; i < n; i++){
                // 注意是環狀，需要取餘計算
                dp[now ^ 1][i] = 0.5 * dp[now][(i - v + n) % n] + 0.5 * dp[now][(i + v) % n];
            }

            now ^= 1;
        }
        double ans = 0;
        for (int i = l - 1; i < r; i++)
            ans += dp[now][i];

        printf("%.4lf\n", ans);
    }
    return 0;
}

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