jzoj6268. 【省選模擬8.10】賤

題目描述

Description

Input
一行兩個整數n，k

Output
一行一個整數ans，代表答案，模1e9+

Sample Input
Sample Input 1
5 2

Sample Input 2
100 50

Sample Output
Sample Output 1
12

Sample Output 2
400502129

Data Constraint

題解

設f[i]表示至少染色i次後能全部染黑的方案數
那麼答案$ans=\sum_{i\geqslant 0}{f[i]}-(n-k+1)!$
因爲每種排列一共被算了(手賤次數+1)次，所以最後要減去排列數

k=1 or k=n

答案爲0

k*2≥n

頭尾放完後中間隨便放，因爲都能染黑

k=2

枚舉i，組合數隨便算
時間：O(n)

k≥1000

f[i]不好直接算
容斥，對於每個i求出有至少j個間隔≥m的方案，隨便算算
這樣剩下的只有間隔<k的方案
證明：
設有k個間隔≥k
那麼被算的次數=$\sum_{i=0}^{k}{(-1)^{i}C_{k}^{i}}$
楊輝三角中，只有第一行奇數和-偶數和=1，其餘都爲0（當前行的奇/偶和=上一行奇+偶，初始奇=1歐=0）

時間：O(n²/k)，過不了30%所以要特殊處理

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define mod 1000000007
#define Mod 1000000005
using namespace std;

long long jc[1000001];
long long Jc[1000001];
long long w[1000001];
long long f[1000001];
int n,m,i,j,k,l;
long long ans;

long long qpower(long long a,int b)
{
	long long ans=1;
	
	while (b)
	{
		if (b&1)
		ans=ans*a%mod;
		
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	
	return ans;
}

long long C(int n,int m)
{
	return jc[n]*Jc[m]%mod*Jc[n-m]%mod;
}

int main()
{
	freopen("jian.in","r",stdin);
	freopen("jian.out","w",stdout);
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	
	if (n==m)
	{
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	
	jc[0]=1;jc[1]=1;
	Jc[0]=1;Jc[1]=1;
	w[1]=1;
	fo(i,2,n)
	{
		w[i]=(long long)mod-(mod/i)*w[mod%i]%mod;
		
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
		Jc[i]=Jc[i-1]*w[i]%mod;
	}
	
	if (m==1)
	{
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	
	if (m+m>=n)
	{
		f[0]=jc[2]*jc[(n-m+1)-2]%mod;
		fo(i,1,(n-m+1)-2)
		f[i]=C((n-m+1)-2,i)*jc[i+2]%mod*jc[(n-m+1)-2-i]%mod;
	}
	else
	if (m==2)
	{
		fo(i,(n-m-m-1)/m+1,n-m-1)
		f[i]=C(i+1,n-m-1-i)*jc[i+2]%mod*jc[(n-m+1)-(i+2)]%mod;
	}
	else
	{
		fo(i,(n-m-m-1)/m+1,n-m-1)
		{
			fd(j,min(i+1,(n-m-1-i)/m),0)
			if (!(j&1))
			f[i]=(f[i]+C(i+1,j)*C(n-m-1-i-j*m+(i+1)-1,(i+1)-1)%mod)%mod;
			else
			f[i]=(f[i]-C(i+1,j)*C(n-m-1-i-j*m+(i+1)-1,(i+1)-1))%mod;
			
			f[i]=f[i]*jc[i+2]%mod*jc[(n-m+1)-(i+2)]%mod;
		}
	}
	
	ans=f[0];
	fd(i,n-m-1,1)
	ans=(ans+f[i])%mod;
	ans-=jc[n-m+1];
	
	printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
}