一、理解
劃分樹，字面意思是將一列數按照一定規則劃分出來形成一個樹形的數據結構，而樹形的數據結構特點就是查詢快，時間複雜度在log級。
二、通俗定義
劃分樹就是將n個數按一定順序，逐層劃分，形成一個樹狀結構，但不改變每個數之間的相對位置。
例如：
將一列數按照從小到大的順序劃分，小的一半進入當前節點的左子節點，大的一半進入當前節點的右子節點，但在每個節點內每個數相對原序列的位置不變。
三、用途
主要用於快速求出(在log(n)的時間複雜度內）某個序列區間的第k大值。例如求出 l-r 區間內第k大的數。
四、算法思路
首先這個算法分爲建樹和查詢兩個部分。
建樹部分，首先需要一個二維數組來存這個樹。而每一層都是原本的n個數只是順序不同而已。所以我們可以開一個數組tree[20][N]，也就是說這個樹有20層，每層都是原來的那n個數。（20層就足夠多了）
同時我們還需要一個數組來記錄每一個節點有多少個數進入左子節點，即我們定義一個數組爲toleft[20][maxn]，toleft[p][i]表示第p層本i之前節點內有多少個數進入左子節點。
然後依次每一層維護tree數組和toleft數組即可。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int MAXN = 100010;
int tree[20][MAXN];//表示每層每個位置的值
int sorted[MAXN];//已經排序好的數
int toleft[20][MAXN];//toleft[p][i] 表示第 i 層從 1 到 i 有數分入左邊
void build(int l,int r,int dep) {
if(l == r)return;
int mid = (l+r)>>1;
int same=mid-l+1;//表示等於中間值而且被分入左邊的個數
for(int i = l; i <= r; i++) //注意是 l, 不是 one
if(tree[dep][i] < sorted[mid])
same--;
int lpos = l;
int rpos = mid+1;
for(int i = l; i <= r; i++) {
if(tree[dep][i] < sorted[mid])
tree[dep+1][lpos++] = tree[dep][i];
else if(tree[dep][i] == sorted[mid] && same > 0) {
tree[dep+1][lpos++] = tree[dep][i];
same--;
} else
tree[dep+1][rpos++] = tree[dep][i];
toleft[dep][i]=toleft[dep][l-1]+lpos-l;
}
build(l,mid,dep+1);
build(mid+1,r,dep+1);
}
查找的部分是首先判斷你要找的數在左子樹還是右子樹，如果在左子樹，就在詢問區間 l-r 和左子樹區間的交集內找第k大的數，如果在右子樹，就在詢問區間 l-r 和右子樹區間的交集內找第k-mid大的數，這是一個遞歸的過程知道找到數的葉子節點就找到了這個數。
//查詢區間第 k 大的數,[L,R] 是大區間，[l,r] 是要查詢的小區間
int query(int L,int R,int l,int r,int dep,int k) {
if(l == r)return tree[dep][l];
int mid = (L+R)>>1;
int cnt = toleft[dep][r] - toleft[dep][l-1];
if(cnt >= k) {
int newl=L+toleft[dep][l-1]-toleft[dep][L-1];
int newr=newl+cnt-1;
return query(L,mid,newl,newr,dep+1,k);
} else {
int newr=r+toleft[dep][R]-toleft[dep][r];
int newl=newr-(r-l-cnt);
return query(mid+1,R,newl,newr,dep+1,k-cnt);
}
}
int main() {
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2) {
memset(tree,0,sizeof(tree));
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d",&tree[0][i]);
sorted[i] = tree[0][i];
}
sort(sorted+1,sorted+n+1);
build(1,n,0);
int s,t,k;
while(m--) {
scanf("%d%d%d",&s,&t,&k);
printf("%d\n",query(1,n,s,t,0,k));
}
}
return 0;
}
這兩部分代碼來自kuangbin的板子。
經典例題是POJ2104，這是一道板子題，直接套板子就可以AC。
代碼如下：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=222;
const int MAXN = 100010;
int tree[20][MAXN];
int sorted[MAXN];
int toleft[20][MAXN];
void build(int l,int r,int dep) {
if(l==r)
return;
int mid=(l+r)>>1;
int same= mid-l+1;
for(int i=l; i<=r; i++) {
if(tree[dep][i]<sorted[mid]) {
same--;
}
}
int lpos=l;
int rpos=mid+1;
for(int i=l; i<=r; i++) {
if(tree[dep][i]<sorted[mid])
tree[dep+1][lpos++]=tree[dep][i];
else if(tree[dep][i]==sorted[mid]&&same>0) {
tree[dep+1][lpos++]=tree[dep][i];
same--;
} else
tree[dep+1][rpos++]=tree[dep][i];
toleft[dep][i]=toleft[dep][l-1]+lpos-l;
}
build(l,mid,dep+1);
build(mid+1,r,dep+1);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int dep,int k) {
if(l==r) return tree[dep][l];
int mid=(L+R)>>1;
int cnt=toleft[dep][r]-toleft[dep][l-1];
if(cnt>=k) {
int newl=L+toleft[dep][l-1]-toleft[dep][L-1];
int newr=newl+cnt-1;
return query(L,mid,newl,newr,dep+1,k);
} else {
int newr=r+toleft[dep][R]-toleft[dep][r];
int newl=newr-(r-l-cnt);
return query(mid+1,R,newl,newr,dep+1,k-cnt);
}
}
int main() {
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2) {
memset(tree,0,sizeof(tree));
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d",&tree[0][i]);
sorted[i]=tree[0][i];
}
sort(sorted+1,sorted+1+n);
build(1,n,0);
int s,t,k;
while(m--) {
scanf("%d%d%d",&s,&t,&k);
printf("%d\n",query(1,n,s,t,0,k));
}
}
return 0;
}