二分法查找法學習筆記總結

1 二分法學習筆記總結

參考

https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/solution/te-bie-hao-yong-de-er-fen-cha-fa-fa-mo-ban-python-/
https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/solution/er-fen-cha-zhao-suan-fa-xi-jie-xiang-jie-by-labula/

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1.1 取中位數索引的方法

• 傳統的方法 int mid = (left + right) /2 ,在 left 和 right 比較大的時候， 兩者相加很可能超過 int 類的最大值，即發現整型溢出；
• 改進 int mid = left + (right - left) /2
• 最好的寫法 int mid = (left + right) >>> 1

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• >>, 右移時，丟棄右邊指定位數，左邊補上符號位；
• >>>, 無符號右移運算符，丟棄右邊指定的位數，左邊補上 0 。所以對負數右移，可以變成正數；

1.2 循環條件

• while (left <= right),退出循環時，要考慮返回 left 和 right;

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2 二分查找模板思想

2.1 循環條件

• while (left < right), 在退出循環的時候，一定有 left == right,這時返回 left 或者 right 都可以；
• 退出循環的時候還有一個數沒有考慮，即退出循環之前索引 left 或者 索引 right 上的值？這點可以等到退出循環以後考慮，甚至有時不用考慮，就確定它是目標數；

2.2 左、右邊界值

• 如果左、右邊界值不包括目標數，會出現錯誤；
• 如果 left 和 right 表示的是數組的索引，要考慮“索引有效性的問題”，即 索引是否越界；

2.3 中位數索引

• 中位數先寫 int mid = (left + right) >>> 1,然後根據分支的情況，再做調整；

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當數組個數是偶數的時候：

• int mid = left + (right -left) / 2, 得到左中位數的索引
• int mid = left + (right -left + 1) / 2, 得到右中位數的索引

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當數組個數是奇數的時候，二者都能得到最中間的元素

• int mid = left + (right -left) / 2 等價於 int mid = (left + right) >>> 1
• int mid = left + (right -left + 1) / 2 等價於 int mid = (left + right + 1) >>> 1

2.4 邏輯分支

• 先寫邏輯上最容易想到的分支，這個分支邏輯通常是排除中位數的邏輯；
• 例如，求 x 的平方根時，如果一個數的平方小於或者等於 x, 那麼這個數可能是也可能不是 x 的平方根；但是可以肯定的是，如果一個數的平方大於 x ,這個數肯定不是 x 的平方根；
• 所以先寫 “容易想到”的分支，排除中位數之後，通常另一個分支就不排除中位數，不必具體考慮另一個分支的邏輯的具體含義；

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• 在循環內只寫 2 個分支，一個分支排除中位數，另一個分支不排除中位數，循環中不單獨對中位數做判斷；
• “夾逼法”，沒有必要在每一輪循環開始前單獨判斷當前中位數是否是目標元素，因此分支數少了一支，代碼執行效率高
• 可能出現以下 2 種模板
  

2.5 左、右中位數的選取

• 根據分支邏輯選擇中位數的類型，選擇的標準是避免出現死循環

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當候選區間只剩下兩個元素的時候，進入中位數是左邊界的邏輯，由於左邊界不收縮，下一次循環還選左中位數，左邊界還不收縮，如此下去，進入了死循環。解決方案：使用右中位數；

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當候選區間只剩下 2 個元素的時候，一旦進入中位數是右邊界的邏輯，由於右邊界不收縮，下一次循環還選右中位數，右邊界還不收縮，如此下去，進入了死循環；解決方法：換成左中位數

2.6 退出循環的處理

• 退出循環的時候，可能需要對“夾逼法”剩下的那個數單獨做一次判斷；
• 如果能確定候選區間裏一定有目標元素，則不需要這一步。例如：x 的平方根一定在 [0,x] 內，所以退出 while ( left < right) 後，不必單獨判斷 left 或者 right 是否符合；
• 如果不確定候選區間裏是否存在目標元素，則需要單獨做一次判斷。因爲目標數可能不在數組中，當候選區間變成一個數的時候，需要單獨判斷這個數是否爲目標數。

3 死循環代碼測試

public static int testSqrt(int x) throws InterruptedException {
        if (x == 1 || x == 0) {
            return x;
        }

        int left = 1;
        int right = x / 2;

        while (left < right) {

            Thread.sleep(1000);

            System.out.println("left = " + left + ",right= " + right);

            // 在分支左區間不發生收縮時，中位數要選右中位數

            int mid = (left + right) >>> 1;
            System.out.println("mid = " + mid);

            int square = mid * mid;

            if (square > x) {
                System.out.println("進入 right = mid -1 分支");

                right = mid - 1;
            } else {
                System.out.println("進入 left=mid 分支");
                left = mid;
            }

            System.out.println();
        }

        return left;

    }

    public static void main(String[] args) throws InterruptedException {
        int res = testSqrt(9);
        System.out.println(res);
    }