題目描述
給定兩個大小爲 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2。
請你找出這兩個有序數組的中位數，並且要求算法的時間複雜度爲 O(log(m + n))。
你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時爲空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
則中位數是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5
來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
思路分析
一個增序數組
要尋求一個數組的中位數，很容易讓人聯想到用二分法解決
對於偶數個元素的數組A，假定其元素個數爲 n，下標從0開始，其中位數是 (A[(n-1)/2] + A[n/2])/2
對於偶數個元素的數組B，假定其元素個數爲m，下標從0開始，其中位數是A[m/2]
隱含條件：任何一個存在中位數的數組，其中位數都會將數組分割成等長的兩份，並且左邊小於中位數，右邊大於中位數
兩個增序數組
接下來推廣，從上面的結論很容易得出，對於兩個增序數組A,B，如果數組A中存在一個下標 i ，數組B中存在一個下標 j ，使得 len(數組A+數組B的左邊) == len(數組A+數組B的右邊)，並且存在一個數使得A和B的左邊都比它小，A和B的右邊都比它大，那這個數就是這兩個增序數組的中位數。
| left_part | Cut | right_part |
|---|---|---|
| A[0]，A[1]，…，A[i] | / | A[i+1]，A[i+2]，…，A[m-1] |
| B[0]，B[1]，…，B[j] | / | B[j+1]，B[j+2]，…，B[n-1] |
用表達式來表示上面的兩個條件就是
-
i+j == m-1-i + n-1-j
-
A[i] <= B[j+1] && B[j] <= A[i+1]
雙數組長度的奇偶
一個數組的奇偶有兩種情況，可以想象，如果考慮雙數組的奇偶，將是會有 2*2 = 4種情況，這將會大大增加編程難度，那麼有沒有一種方法讓我們不用考慮奇偶。
讓數組恆爲奇數
操作很簡單，就是給每個元素的左右加一個字符，比如 ‘#’，長度變爲2*n+1，ex:
| before | len | after | len |
|---|---|---|---|
| {1,2,3} | 3 | {#,1,#,2,#,3,#} | 7 |
| {4,5,6,7} | 4 | {#,4,#,5,#,6,#,7,#} | 9 |
這樣加的好處不光解決了奇偶的問題，還讓獲取元素的方法化簡了，對於任何一個元素，都可以通過 現在的位置/2 得到原來的位置，比如{#,1,#,2,#,3,#}中的2，它的位置是a[3]，通過 3/2 == 1，可以得到原來的位置，{1,2,3}中的a[1] == 2，{#,4,#,5,#}中的5，位置是a[3]，3/2 == 1，即{4,5,6,7}中的a[1] == 5
當然這個操作並不需要在代碼裏實現，這裏只是幫助理解
等式變換
接下來看這個等式
- i+j == m-1-i + n-1-j
由於數組長度增加，第一個等式變爲
- i+j == 2*m+1-1-i + 2*n+1-1-j
- i+j == 2*m-i + 2*n-j
- i+j == m+n
由此可得出 j == m+n-i，其中 i (0~2*m)
由於 j > 0，因此可以得出 m+n-i > 0，由 i 的取值範圍，最終得出此關係成立的條件是 n>m，即第二個數組的大小一定要比第一個大。
分治策略
接下來看這個等式
- A[i] <= B[j+1] && B[j] <= A[i+1]
那麼分治的策略就很明顯了
如果 A[i] > B[j+1]，說明A數組的左邊太長了，應該向左二分
如果 B[j] > A[i+1]，說明A數組的左邊太短了，應該向右二分
臨界點
如果 i == 0 或 j == 0 或 i == 2*m 或 j == 2*n，那麼A[i+1]，B[j+1]等等都不存在，此時，到達臨界的數組整體可能都比另一數組中的某一值小(大)，那麼中值在另一數組中。
代碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class Solution
{
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
{
int m = nums1.size();
int n = nums2.size();
if(m>n) //保證數組1長度<數組2長度
return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);
int l1 = 0,l2 = 0,r1 = 0,r2 = 0,i = 0,j = 0,imin = 0,imax = 2*m; //下標爲0~2*m
while(imin <= imax) //存在空數組的情況，因此要有=
{
i = (imax+imin)/2;
j = m+n-i;
l1 = (i == 0)?INT_MIN:nums1[(i-1)/2];
r1 = (i == 2*m)?INT_MAX:nums1[i/2];
l2 = (j == 0)?INT_MIN:nums2[(j-1)/2];
r2 = (j == 2*n)?INT_MAX:nums2[j/2];
if(l1>r2)
imax = i-1;
else if(l2>r1)
imin = i+1;
else
break;
}
return (max(l1,l2)+min(r1,r2))/2.0;
}
};
int main()
{
vector<int> a = {1,2,4,5};
vector<int> b = {3};
Solution Sve;
cout<<Sve.findMedianSortedArrays(a,b);
return 0;
}