P1608 路徑統計（帶權圖的最短路數統計，dijkstra算法）

我可以這麼說：spfa不僅僅是bellman_ford的隊列優化版本，而且是魔改！

P1608 路徑統計

題目描述

給定一張有向有權圖，求出點1到點n的最短路長度和最短路的數量. 可能無解，但是不會出現負權邊和自環，若有重邊請忽略影響，只算一條.

題目分析

之前我們有做過無權圖的最短路算法，那時候我們直接對$spfa$進行操作就好了.

然鵝這道題，$spfa$就不能直接操作，但是$dijkstra$就可以.

爲什麼呢？我們不妨從算法的角度出發.

我們知道，dij基於的思想是貪心，每次我們從起點每次新拓展一個到起點距離最短的點，再以這個點爲中間點，更新起點到其他所有點的距離.

所以已經被操作的這個“當前到起點距離最短的點”，是不會再一次被操作的，

也就是說，每個點都只會在$priority\:queue$中操作一次，在它被操作前最後一次更新後dis和sum一定是固定的.

但是$spfa$算法不一樣，它並沒有所謂“某次更新後就不會改變”的情況，$spfa$的最短路和最短路數在$queue$爲空之前一直有被更新的可能.

那麼爲什麼在無權圖上，$spfa$算法成立呢？那是因爲$spfa$算法同時基於三角形性質：

dis[u]+e[u][v]>=dis[v]，其中dis[u],dis[v]爲已經確定的最短路.

我們發現，在無權圖上，不等式左邊始終大於右邊，而在有權圖上，這是不一定的.

故而在有權圖上，一個點可能進入$queue$多次，從而受到前一個節點的影響，導致重複計算等一系列不可預知的問題.

這也是我爲什麼說“魔改”，就是因爲它的$queue$進入順序實在太不可確定了！

那有沒有解決方法呢？也是有的，只要消除了前面的節點的影響就行.

1.只有當一個點到起點的路徑數不爲0且未入隊時，我們纔將它放入隊列.
2.如果搜索到的一條邊的終點爲n，那麼我們應該跳過這一條邊的搜索，而不是直接結束程序.（why？？？）
3.每次對取出來的點進行完搜索後，一定要將它的路徑數清0，不然會出現重複統計.（這是爲了滿足1，實現再次進隊）

總而言之，很麻煩的樣子。。。而且不是很能理解. 若是要求所有節點的最短路數，也不合適.

總之還是掛篇$spfa$題解

所以以後遇上還是老老實實寫dij吧，畢竟dij中更新是有窮的，可預知確定的操作簡單，而$spfa$不是.

程序實現

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 2010
using namespace std;
struct edge{
	int v,w,next;
}e[maxn*maxn];
int head[maxn],tot;
void add(int u,int v,int w){
	e[++tot].v =v;
	e[tot].w =w;
	e[tot].next=head[u];
	head[u]=tot;
}
int ed[maxn][maxn];
struct node{
	int dis,pos;
	bool operator <(node nd)const{
		return dis>nd.dis ;
	}
};//好像經常容易忘記這個分號
priority_queue<node> q;
bool vis[maxn];
int dis[maxn],sum[maxn];
void dijkstra(int s,int t){
	memset(dis,inf,sizeof dis);
	q.push((node){0,1});
	dis[1]=0;
	sum[1]=1;
	while(!q.empty()){
		node now=q.top();
		q.pop();
		int u=now.pos ;
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=true;//注意vis表示最短路已確定的點
		for(int i=head[u];i;i=e[i].next ){
			int v=e[i].v ;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].w ){
				dis[v]=dis[u]+e[i].w ;
				sum[v]=sum[u];//核心操作
				if(!vis[v])q.push((node){dis[v],v});
			}
			else if(dis[v]==dis[u]+e[i].w )sum[v]+=sum[u];//
		}
	}
}
int n,m;
int main(){
	memset(ed,inf,sizeof ed);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		if(ed[u][v]>w)add(u,v,w),ed[u][v]=w;//防重邊（完全一樣的邊）
	}
	dijkstra(1,n);
	if(dis[n]==inf)printf("No answer\n");//特判
	else printf("%d %d\n",dis[n],sum[n]);
	return 0;
}

題後總結

對基本算法的理解要足夠透徹，否則會在需要靈活使用時不知所措.