P3385 負環（spfa求負環）

P3385 負環

有負權的圖sssp問題不一定無解，但是有負環的圖sssp問題一定無解.

題目描述

給定一張帶負權邊的圖，求從1開始到每個點的最短路路徑上是否有負環. 可能有重邊或者自環.

題目分析

帶負權的圖做最短路，顯然只能用$spfa$.

spfa這種最短路算法.如果一個環上的邊權有負的,我們可以重複走這條路來獲得更小的邊權,所以這可以作爲我們使用spfa判斷負環的根據.

根據$bellman\:ford$算法，一條兩點間的最短路至多經過n點，也就是說最多進隊鬆弛$n-1$次. 如果一個位置入隊次數不小於n次，那它一定位於環上,所以這可以作爲我們的判斷標準.

注意由於可能有自環和重邊，所以我們每搜完一個點，都要立即解除它的標記，否則就會出現因爲自環入隊n次而不能判出的情況.

程序實現

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 6010
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct edge{
	int v,w,next;
}e[maxn];
int head[maxn],tot;
void add(int u,int v,int w){
	e[++tot].v =v;
	e[tot].w =w;
	e[tot].next =head[u];
	head[u]=tot;
}
int n,m;
bool vis[maxn];
int dis[maxn],tim[maxn];
bool spfa(){
	memset(tim,0,sizeof tim);
	memset(vis,false,sizeof vis);
	memset(dis,inf,sizeof dis);
	queue<int >q;
	vis[1]=true;
	tim[1]=1;
	dis[1]=0;
	q.push(1);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=false;//就是這個地方！要先解除標記
		if(tim[u]>=n)return true;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].next ){
			int v=e[i].v ;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].w ){
				dis[v]=dis[u]+e[i].w ;
				if(!vis[v]){//否則負數自環就判不出來了
					tim[v]++;
					if(tim[v]>=n)return true;
					vis[v]=true;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return false;
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	for(int ab=1;ab<=T;ab++){
		memset(e,0,sizeof e);
		memset(head,0,sizeof head);
		tot=0;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			add(u,v,w);
			if(w>=0)add(v,u,w);
		}
		bool flag=spfa();
		if(flag)printf("YE5\n");
		else printf("N0\n");
	}
	return 0;
} 

題後反思

$dijkstra$是求不了負權圖上的$sssp$的，也不能求單源最長路徑，只有$spfa$才行.

所以熟練使用$spfa$是有必要的.