二分查找的變形

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二分查找的總結

• 普通的二分查找

• 普通二分查找的另一種寫法

• 第一個 = key的，不存在返回 -1

• 第一個>= key的

• 第一個> key 的

• 第一個...的總結

• 最後一個= key 的 ，不存在返回- 1

• 最後一個<= key的

• 最後一個 < key 的

• 最後一個...的總結

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普通的二分查找

最普通的寫法:

• 範圍在[L,R]閉區間中，L = 0、R = arr.length - 1；

• 注意循環條件爲 L <= R ，而不是L < R；

    static int bs1(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]範圍內尋找key
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]內
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

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普通二分查找的另一種寫法

首先說明，這個和上面的二分查找是完全一樣的，只不過我們定義的區間不同而已:

• 上面的二分查找是在[L,R]的閉區間中查找，而這個二分查找是在[L,R)的左閉右開區間查找；

• 所以此時的循環條件是L < R ，因爲R本來是一個不可到達的地方，我們定義爲了開區間，所以R是一個不會考慮的數，所以我們循環條件是L < R；

• 同理，當arr[mid] > key的時候，不是R = mid - 1，因爲我們定義的是開區間，所以R = mid ，因爲不會考慮arr[mid]這個數；

    //和上面的完全一樣，只是一開始R不是arr.length-1 而是arr.length
    static int bs2(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length; //注意這裏R = arr.length 所以在[L,R)開區間中找
        int mid;
        while( L < R){ //注意這裏 不是 L <= R
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid; // 在[L,mid)中找
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

上面的兩種方式一般還是第一種方式用的多一點。

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第一個 = key 的，不存在返回 -1

這個和之前的不同是:

• 數組中可能有重複的key，我們要找的是第一個key的位置；

• 和普通二分查找法不同的是在我們要R = mid - 1前的判斷條件不是arr[mid] > key，而是arr[mid] >= key；

• 爲什麼是上面那樣，其實直觀上理解，我們要找的是第一個，那我們去左邊找的時候不僅僅arr[mid] > key就去左邊找，等於我也要去找，因爲我要最左邊的等於的；

• 最後我們要判斷L是否越界(L 有可能等於arr.length)，而且最後arr[L]是否等於要找的key；

• 如果arr[L]不等於key，說明沒有這個元素，返回-1；

舉個例子:

	/**查找第一個與key相等的元素的下標，　如果不存在返回-1　*/
    static int firstEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一個>=key的
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        if(L < arr.length && arr[L] == key)
            return L;
        return -1;
    }

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第一個>= key 的

這個和上面那個尋找第一個等於key的唯一的區別就是:

• 最後我們不需要判斷(L < arr.length && arr[L] == key)，因爲如果不存在key的話，我們返回第一個> key的元素即可；

• 注意這裏沒有判斷越界(L < arr.length)，因爲如果整個數組都比key要小，就會返回arr.length的大小；

	/**查找第一個大於等於key的元素的下標*/
    static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }

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第一個 > key的

這個和上兩個的不同在於:

• if(arr[mid] >= key)改成了if(arr[mid] > key)，因爲我們不是要尋找 = key的；

• 看似和普通二分法很像，但是我們在循環中沒有判斷if(arr[mid] == key)就返回mid(因爲要尋找的不是等於key的)，而是在最後返回了L ；

舉個例子:

    /**查找第一個大於key的元素的下標 */
    static int firstLarge(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }

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第一個...的總結

上面寫了三個第一個.....的程序，可以發現一些共同點 ，也可以總結一下它們微妙的區別:

• 最後返回的都是L；

• 如果是尋找第一個等於key的，是if( arr[mid] >= key) R = mid - 1，且最後要判斷L的合法以及是否存在key；

• 如果是尋找第一個大於等於key的，也是if(arr[mid] >= key) R = mid - 1，但是最後直接返回L；

• 如果是尋找第一個大於key的，則判斷條件是if(arr[mid] > key) R = mid - 1，最後返回L ；

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最後一個 = key 的 ，不存在返回 - 1

和尋找第一個 = key的很類似，不過是方向的不同而已:

• 數組中有可能有重複的key，我們要查找的是最後一個 = key的位置，不存在返回-1；

• 爲了更加的直觀的理解，和尋找第一個…的形成對比，這裏是當arr[mid] <= key的時候，我們要去右邊查找(L = mid + 1)，同樣是直觀的理解，因爲我們是要去找到最後一個 = key的，所以不僅僅是arr[mid] < key要去左邊尋找，等於key的時候也要去左邊尋找；

• 和第一個…不同的是，我們返回的都是R；

• 同時我們也要判斷R的下標的合法性，以及最後的arr[R]是否等於key，如果不等於就返回-1；

舉個例子:

    /**查找最後一個與key相等的元素的下標，　如果沒有返回-1*/
    static int lastEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        if(R >= 0 && arr[R] == key)
            return R;
        return -1;
    }

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最後一個<= key 的

這個和上面那個尋找最後一個等於key的唯一的區別就是:

• 最後我們不需要判斷 (R >= 0 && arr[R] == key)，因爲如果不存在key的話，我們返回最後一個 < key的元素即可；

• 注意這裏沒有判斷越界(R >= 0)，因爲如果整個數組都比key要大，數組最左邊的更左邊一個(也就是-1)；

    /**查找最後一個小於等於key的元素的下標 */
    static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }

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最後一個 < key 的

這個和上面兩個不同的是:

• 和上面的程序唯一不同的就是arr[mid] <= key改成了 arr[mid] < key，因爲我們要尋找的不是= key的；

• 注意這三個最後一個的都是先對L的操作L = mid + 1，然後在else 中進行對R的操作；

    /**查找最後一個小於key的元素的下標*/
    static int lastSmall(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] < key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }

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最後一個...的總結

上面三個都是求最後一個.....的，也進行一下總結:

• 最後返回的都是R；

• 第一個if判斷條件(不管是arr[mid] <= key還是arr[mid] < key) ，都是L的操作，也就是去右邊尋找；

• 如果是尋找最後一個 等於key的， if(arr[mid] <= key) L = mid + 1; 不過最後要判斷R的合法性以及是否存在key；

• 如果是尋找最後一個 小於等於 key的，也是if(arr[mid] <= key) L = mid + 1；不過最後直接返回R；

• 如果是尋找最後一個 小於 key的，則判斷條件是 if(arr[mid] < key) L = mid + 1 ，最後返回R；

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