基礎數學4：導數、偏導數、方向導數、梯度、全微分回顧

（1）導數：

①導數的定義：

導數代表自變量的變換趨於無窮小時，函數值變化與自變量變化的比值，反映函數在某一點處沿x方向的變化率。

在一元函數中只存在一個方向上的變化率，因此一元函數沒有偏導數。

②導數公式：

$f^{'}(x_{0})=\lim_{x\to0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x}=\frac{dy}{dx}$

其中： $\bigtriangleup x$ ：x的變化量；

$\bigtriangleup y$ ：y的增量；

dx：x的變化量 $\bigtriangleup x$ 趨於0時；

dy： $dy=f^{'}(x_{0})\cdot dx$ ，爲切線的增量。

（2）偏導數：

①偏導數的定義：

偏導數指多元函數中，函數 $y=f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 在某一點沿某一座標軸 $(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 正方向的變化率。

偏導數爲某自變量趨於0時，函數值變化與自變量變化量的比值的極限（變化率）。

$\frac{\partial }{\partial x_{j} }f(x_{0},x_{1}...x_{n})=\lim_{x\to0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x_{0},x_{1},...x_{j}+\bigtriangleup x,...x_{n})-f(x_{0},x_{1}...x_{j}...x_{n})}{\bigtriangleup x}$

偏導數爲某自變量變化趨於0時，函數值變化與自變量變化量的比值的極限（變化率）。

（3）方向導數：

①方向導數的定義：

方向導數指某一點在某一趨近方向上的導數值，用於計算函數沿任意方向的變化率。

②方向導數公式：

（4）梯度：

①梯度的意義：

用於定義函數在變量空間的一點處，沿哪個方向有最大的變化率。

②梯度的定義：

函數在某一點的梯度是一個向量，它的向量與取得最大方向導數的方向一致，它的模爲方向導數的最大值。

設二元函數在平面區域D上有一階連續偏導數，則對於每一個點P（x，y）都可以定義出一個向量 $\left \{ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right \}=f_{x}(x,y)\bar{i}+f_{y}(x,y)\bar{j}$ ，該向量就稱爲函數在點（x，y）的梯度，記作gradf（x，y）或 $\bigtriangledown f(x,y)$ .

③梯度的理解舉例：

站在山上，沿着梯度的方向可以最快到達山底。

梯度是一個向量，表示函數f在空間的某個點的各個維度的陡峭程度，梯度的方向是函數增長最快的方向，梯度的反方向是函數降低最快的方向。

（5）全微分：

①全增量的定義：

設二元函數z=f（x，y）在點P（x，y）的某鄰域內有定義，當變量x，y在點（x，y）處分別有增量 $\bigtriangleup x$ ， $\bigtriangleup y$ 時函數取得的增量，稱爲f（x，y）在（x，y）處的全增量。

$\bigtriangleup z=f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y)$

②全微分的定義：

如果函數在點處的全增量 $\bigtriangleup z=f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y)$ 可表示爲:

$\bigtriangleup z=A\bigtriangleup x+B\bigtriangleup y+o(\rho )(\rho \rightarrow 0)$

其中A、B僅與x，y有關，而不依賴於 $\bigtriangleup x$ 、 $\bigtriangleup y$ ， $\rho =\sqrt{(\bigtriangleup x )^{2}+(\bigtriangleup y )^{2}}$ ,則稱函數z=f（x，y）在點（x，y）處可微分， $\bigtriangleup z=A\bigtriangleup x+B\bigtriangleup y$ 稱爲函數z=f（x，y）在點（x，y）處的全微分，記作： $d z=A\bigtriangleup x+B\bigtriangleup y$ 。