研究背景
陣列信號處理作爲信號處理的一個重要分支，在通信、雷達、聲納、地震勘探和射電天文等領域內獲得了廣泛應用和迅速發展。陣列信號處理將一組傳感器按一定方式佈置在空間不同位置上，形成傳感器陣列。用傳感器陣列來接收空間信號，相當於對空間分佈的場信號採樣，得到信號源的空間離散觀測數據。其目的主要是對陣列接收到的信號進行處理，增強所需要的有用信號，抑制無用的干擾和噪聲，並提取有用的信號特徵以及信號所包含的信息。其主要應用包含以下五個方面
- 波束形成技術：使陣列天線方向圖的主瓣指向所需的方向
- 零點形成技術：使天線的零點對準干擾方向。
- 空間譜估計：對空間信號波達方向進行超分辨率估計，主要是因爲空間譜估計技術具有超高的空間信號的分辨能力，能突破並進一步改善一個波束寬度內空間不同來自信號的分辨能力。
- 信號源估計：確定陣列到信源的仰角和方位角，甚至頻率、時延和距離等
- 信源分離：確定各個信源發出的信號波形，各個信源從不同方向到達陣列，使得這些信號可以分離，即便在時域和頻域是疊加的，也可以進行分離。
接下來主要介紹空間譜估計。
空間譜估計方法
陣列信號處理的另一個基本問題是空間信號到達方向估計問題，也是雷達、聲納等許多領域的重要任務。DOA估計的基本問題就是確定同時處於空間某一區域內多個感興趣的信號的空間位置（即各個信號到達陣列參考陣元的方向角，簡稱波達方向）。空間譜估計的基本理論離不開陣列信號處理的基本原理，即通過空間陣列接收數據的相位差來確定一個或者幾個待估計的參數，如方位角、俯仰角和信號源數。估計的分辨率取決於陣列長度，陣列長度確定後，其分辨率也被確定。稱爲瑞麗限。超瑞利限的方法稱爲超分辨率方法，最早的超分辨率方法主要有MUSIC 和ESPRIT 算法。它們同屬特徵結構的子空間方法。該方法建立在這樣一個基本觀察上，若傳感器個數比信源個數多，則陣列數據的信號分量一定位於一個低秩的子空間，在一定條件下，這個子空間將唯一確定信號的波達方向，並且可以使用數值穩定的奇異值分解精確的確定波達方向。
空間譜數學模型
空間譜估計就是利用空間陣列實現空間信號的參數估計，整個空間譜估計系統由三部分組成：空間信號入射、空間陣列接收、參數估計。相應的可分爲三個空間，目標空間、觀察空間和估計空間。
- 目標空間：由信號源的參數與複雜環境參數張成的空間，對於空間譜系統就是利用特定的一些方法從這個複雜的目標空間中估計出信號的未知參數
- 觀察空間：利用空間按照一定方式排列的陣元來接收目標空間的輻射信號
- 估計空間：利用空間譜估計技從複雜的觀察數據中提取信號的特徵參數。
考慮
N個遠程的窄帶信號入射到某空間陣列上，其中陣列天線由M個陣元組成 。(假設陣元數等於通道數)，也就是說處理來自M個通道的數據。在信號源是窄帶的前提下，信號可以表示如下
$$ s_{i}(t)=u_{i}(t)*e^{j(w_{0}t+\psi(t))}\\s_{i}(t-\tau)=u_{i}(t-\tau)e^{j(w_{0}(t-\tau)+\psi(t-\tau))} $$
式$u_{i}(t)$是接收信號的幅度，$\psi(t)$是接收信號的相位，$w_{0}$是接收信號的頻率。在窄帶遠場信號源的假設下，有如下式子成立
$$ u_{i}(t-\tau)\approx u_{i}(t)\\\psi(t-\tau)\approx\psi(t) $$
那麼有如下式子成立
$$ s_{i}(t-\tau)\approx s_{i}(t)*e^{-jw_{0}\tau}\quad i=0,1,\cdots,N $$
那麼可以得到第ll個陣元的接收信號爲
$$ x_{i}(t)=\sum_{i=1}^{N}g_{li}s_{i}(t-\tau_{i})+n_{i}(t)\quad i=0,1,\cdots,M $$
式子中$g_{li}$爲第ll個陣元對第$i$個信號的增益，$n_{i}(t)$表示第$i$個陣元在$t$時刻的噪聲，$\tau_{li}$表示第$i$個信號到達第$l$個陣元時相對於參考陣元的時延。利用矩陣表示如下
$$ \left[ \begin{matrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t)\\ \vdots\\ x_{M}(t)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} g_{11}e^{-jw_{0}\tau_{11}}&g_{12}e^{-jw_{0}\tau_{12}}&\cdots&g_{1N}e^{-jw_{0}\tau_{1N}}\\ g_{21}e^{-jw_{0}\tau_{21}}&g_{22}e^{-jw_{0}\tau_{22}}&\cdots&g_{2N}e^{-jw_{0}\tau_{2N}}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ g_{M1}e^{-jw_{0}\tau_{M1}}&g_{M2}e^{-jw_{0}\tau_{M2}}&\cdots&g_{MN}e^{-jw_{0}\tau_{MN}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s_{1}( t)\\ s_{2}(t)\\ \vdots\\ s_{N}(t)\\ \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} n_{1}( t)\\ n_{2}(t)\\ \vdots\\ n_{M}(t)\\ \end{matrix} \right] $$
理想情況下，假設陣列中各陣元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影響，那麼上式中的增益可以忽略，可以簡化爲
$$ \left[ \begin{matrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t)\\ \vdots\\ x_{M}(t)\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} e^{-jw_{0}\tau_{11}}&e^{-jw_{0}\tau_{12}}&\cdots&e^{-jw_{0}\tau_{1N}}\\ e^{-jw_{0}\tau_{21}}&e^{-jw_{0}\tau_{22}}&\cdots&e^{-jw_{0}\tau_{2N}}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ e^{-jw_{0}\tau_{M1}}&e^{-jw_{0}\tau_{M2}}&\cdots&e^{-jw_{0}\tau_{MN}}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s_{1}( t)\\ s_{2}(t)\\ \vdots\\ s_{N}(t)\\ \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} n_{1}( t)\\ n_{2}(t)\\ \vdots\\ n_{M}(t)\\ \end{matrix} \right] $$
寫成矢量形式爲
$$ X(t)=AS(t)+N(t) $$
在上式中，X(t)爲陣列的M×1維快拍數據矢量，N(t)爲陣列的M×1維噪聲數據矢量，S(t)維空間信號的N×1維矢量，A爲空間陣列的M×N維流型矩陣（導向矩陣）。上述模型在陣列信號處理中十分有用。