B題 “同心協力”策略研究
“同心協力”（又稱“同心鼓”）是一項團隊協作能力拓展項目。該項目的道具是一面牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點沿圓周呈均勻分佈，每根繩子長度相同。團隊成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項目開始時，球從鼓面中心上方豎直落下，隊員同心協力將球顛起，使其有節奏地在鼓面上跳動。顛球過程中，隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。
圖片來源：https://yjs.syu.edu.cn/_mediafile/yjs/2017/10/26/32yuesec78.png
項目所用排球的質量爲270 g。鼓面直徑爲40 cm，鼓身高度爲22 cm，鼓的質量爲3.6 kg。隊員人數不少於8人，隊員之間的最小距離不得小於60 cm。項目開始時，球從鼓面中心上方40 cm處豎直落下，球被顛起的高度應離開鼓面40 cm以上，如果低於40cm，則項目停止。項目的目標是使得連續顛球的次數儘可能多。
試建立數學模型解決以下問題：
1. 在理想狀態下，每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度，試討論這種情形下團隊的最佳協作策略，並給出該策略下的顛球高度。
2. 在現實情形中，隊員發力時機和力度不可能做到精確控制，存在一定誤差，於是鼓面可能出現傾斜。試建立模型描述隊員的發力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關係。設隊員人數爲8，繩長爲1.7m，鼓面初始時刻是水平靜止的，初始位置較繩子水平時下降11 cm，表1中給出了隊員們的不同發力時機和力度，求0.1 s時鼓面的傾斜角度。
表1 發力時機（單位：s）和用力大小（單位：N）取值
|
序號 |
用力參數 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
鼓面傾角（度） |
|
發力時機 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
用力大小 |
90 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
發力時機 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
用力大小 |
90 |
90 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
發力時機 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
用力大小 |
90 |
80 |
80 |
90 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
4 |
發力時機 |
-0.1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
用力大小 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
5 |
發力時機 |
-0.1 |
-0.1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
用力大小 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
6 |
發力時機 |
-0.1 |
0 |
0 |
-0.1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
用力大小 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
7 |
發力時機 |
-0.1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
用力大小 |
90 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
8 |
發力時機 |
0 |
-0.1 |
0 |
0 |
-0.1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
用力大小 |
90 |
80 |
80 |
90 |
80 |
80 |
80 |
80 |
||
|
9 |
發力時機 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-0.1 |
0 |
0 |
-0.1 |
|
|
用力大小 |
90 |
80 |
80 |
90 |
80 |
80 |
80 |
80 |
3. 在現實情形中，根據問題2的模型，你們在問題1中給出的策略是否需要調整？如果需要，如何調整？
4. 當鼓面發生傾斜時，球跳動方向不再豎直，於是需要隊員調整拉繩策略。假設人數爲10，繩長爲2m，球的反彈高度爲60cm，相對於豎直方向產生1度的傾斜角度，且傾斜方向在水平面的投影指向某兩位隊員之間，與這兩位隊員的夾角之比爲1:2。爲了將球調整爲豎直狀態彈跳，請給出在可精確控制條件下所有隊員的發力時機及力度，並分析在現實情形中這種調整策略的實施效果。
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