關係演算
概述
(這部分的內容大多與離散數學有關，我沒有相關基礎，所以現在只是簡單看一下)
關係演算是以數理邏輯中的謂詞演算爲基礎的。
關係演算是描述關係運算的另一種思維方式。
SQL語言是繼承了關係代數和關係演算各自的優點所形成的。
按照謂詞變量的不同，可分爲關係元組演算和關係域演算：
關係元組演算是以元組變量作爲謂詞變量的基本對象。
關係域演算是以域變量作爲謂詞變量的基本對象。
關係元組演算
基本形式
關係元組演算公式的基本形式：
{t|P(t)}
上式表示：所有使謂詞P爲真的元組t的集合
t是元組變量
t∈r表示元組t在關係r中
t[A]表示元組t的分量，即t在屬性A上的值
P是與謂詞邏輯相似的公式，P(t)表示以元組t爲變量的公式
定義
P(t)遞歸定義：
關係元組演算的基本形式：{t|P(t)}
其中公式P(t)可以遞歸地進行構造：
三種形式的原子公式是公式：
s∈R、s[A]θc、s[A]θu[B]
如果P是公式，那麼┐P也是公式
如果P1,P2是公式，則P1∨P2，P1∧P2也是公式。
如果P(t)是公式，R是關係，則∃(t∈R)(P(t))和∀(t∈R)(P(t))也是公式。
需要時可加括弧
上述運算符的優先次序自高至底爲：括弧;θ;∀;∃;┐;∧;∨
公式只限於以上形式
存在量詞和全稱量詞∃∀
運算符∃∀，又稱爲量詞，前者稱“存在量詞”，後者稱“全稱量詞”
而被∃或∀限定的元組變量t，或者說，元組變量t前有存在量詞或全稱量詞，則該變量被稱爲“約束變量”，否則被稱爲“自由變量”。
例如：“檢索出年齡不是最小的所有同學”
{t|t∈Student∧∃(u∈Student)(t[Sage]>u[Sage])}
等價變換
P(t)公式，如謂詞演算一樣，也有一系列演算的等價性
關係域演算
基本形式
關係域演算公式的基本形式：{<x1,x2,...,xn>|P(x1,x2,...,xn)}
其中xi代表域變量或常量，P爲以xi爲變量的公式。
遞歸定義
公式P可以遞歸地進行構造：
·<x1, x2, …, xn>∈r，其中r爲n個屬性上的關係，x1, x2, …, xn爲域變量或域常量；
·x𝚯y，其中x和y爲域變量，𝚯爲比較運算符（要求屬性x和y所屬域可用𝚯比較）；
·x𝚯c，其中x爲域變量，c是x作爲域變量的那個屬性域中的常量。
根據如下規則用原子構造公式：
·原子是公式；
·如果P1是公式，則¬P1和(P1)也都是公式；
·如果P1和P2是公式，則P1∨P2、P1∧P2和P1⇒P2也都是公式；
·如果P1(x)是包含自由域變量x的公式，則∃x(P1(x))和∀x(P1(x))也都是公式。
關係運算之安全性
"不產生無限關係和無窮驗證的運算被稱爲是安全的"
1.關係代數是一種集合運算，是安全的
集合本身是有限的，有限元素集合的有限次運算仍舊是有限的。
2.關係演算不一定是安全的
例如：{t|┐(R(t))},{t|R(t)∨t[2]>3}可能表示無限關係
再例如：(∃u)(P(u)),(∀u)(P(u))
前者稱爲“假驗證”，因爲其要驗證所有元素是否爲假，後者稱爲“真驗證”，因爲其要驗證所有元素是否爲真。這樣可能就存在了無窮驗證。
安全約束有限集合
需要對關係演算施加約束條件，即任何公式都在一個集合範圍內操作，而不是無限範圍內操作，才能保證其安全性。
DOM（ρ）是一個有限集合，其中每個符號要麼是ρ明顯出現的符號，要麼是出現在ρ中的某個關係R的某元組的分量。
DOM主要用於約束ρ中一些謂詞的計算範圍，它不必是最小集合。
關於三種關係運算的一些觀點
關係運算有三種：關係代數、關係元組演算和關係域演算
三種關係運算都是抽象的數學運算，體現了三種不同的思維
關係代數--以集合爲對象的操作思維，由集合到集合的變換。
元組演算--以元組爲對象的操作思維，取出關係的每一個元組進行驗證，有一個元組變量則可能需要一個循環，多個元組變量則需要多個循環。
域演算--以域變量爲對象的操作思維，取出域的每一個變量進行驗證看其是否滿足條件。
三種運算之間是等價的
關係代數與安全的元組演算表達式與安全的域演算表達式是等價的。即一種形式的表達式可以被等價地轉換爲另一種形式。
三種關係運算都可說是非過程性的
相比之下：域演算的非過程性最好，元組演算次之，關係代數最差。
三種關係運算雖然是抽象的，但卻是衡量數據庫語言完備性的基礎：
一個數據庫語言如果能夠等價地實現這三種運算的操作，則說該語言是完備的。
目前多數數據庫語言都能夠實現這三種運算的操作，在此基礎上還增加了許多其他的操作，如賦值操作、聚集操作等。