導數

定義

設函數 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的鄰域上有定義,當自變量 $x$ 在 $x_0$ 處取得增量 $\Delta x$ (點 $x_0+\Delta x$ 仍在該鄰域內)時,相應地,因變量取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)- f(x_0)$;如果 $\Delta y$ 與 $\Delta x$ 之比當 $\Delta x \to 0$ 時的極限存在,那麼稱函數 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 處可到,並稱這個極限爲函數 $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 處的導數,記爲 $f'(x_0)$,即:

\[f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, \]

也可記作 $y'\mid_{x=x_0},\frac{dy}{dx}\mid_{x=x_0}$或 $\frac{df(x)}{dx}\mid_{x=x_0}$.
通常,導數的定義式也可以寫成下面的等價形式:

\[f'(x_0)=\lim\limits_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \]

左導數及右導數(單側導數)

上面的定義我們可以看出,導數的本質實際上是一個極限,而極限存在的充要條件就是左極限和右極限都存在且相等,我們把函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的導數定義式的左極限稱爲左導數,記作 $f'_-(x_0)$ ,右極限稱爲右導數,記作 $f'_+(x_0)$ ,可以推出:
若函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的導數存在,則有:

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}(左導數)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}(右導數)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]

注意:

左導數與右導數也可以寫成導數定義式的其他等價形式

區分 $f'_-(x_0)$ 與 $f'(x_0^-)$ 前者是函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的左導數,後者是函數 $f(x)$ 的導函數 $f'(x)$ 在 $x_0$ 處的右極限,二者沒有直接關係.

區間上可導及導函數

如果 $y=f(x)$ 在開區間 $(a,b)$ 內每一個點都可導,則稱 $f(x)$ 在區間 $(a,b)$ 內可導,此時對於 $(a,b)$ 內的每一點 $x$ ,都對應一個導數值 $f'(x)$ ,常稱 $f'(x)$ 爲 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內的導函數,簡稱爲導數,記作 $y'$,$f'(x)$,$\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}$.
將導數定義式中的 $x_0$ 改成 $x$ ,即可獲得導函數的定義式:

\[f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

注意:在此極限過程中,應該把 $x$ 看作一個常量,而 $h$ 纔是極限過程中的變量!

開區間可導
如果函數 $f(x)$ 在開區間 $(a,b)$ 內可導,且 $f'_+(a)$ 和 $f'_-(b)$ 都存在,那麼就說 $f(x)$ 在閉區間上可導.

函數可導性與連續性的關係

如果函數 $f(x)$ 在點 $x$ 處可導,那麼該函數在該點必連續,反之不成立.
如果函數 $f(x)$ 的導函數 $f'(x)$ 連續,那麼 $f(x)$ 必定可導,反之不成立(即函數 $f(x)$ 可導無法說明其導函數 $f'(x)$ 連續)

導數的幾何意義

函數 $f(x)$ 在點 $x_0$ 處的導數 $f'(x_0)$ 在幾何上表示曲線 $y=f(x)$ 在點 $M(x_0,f(x_0))$ 處的切線的斜率,根據直線的點斜式方程,可知曲線 $y=f(x)$ 在點 $M(x_0,y_0)$ 處的切線方程爲:

\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \]

過切點 $M(x_0,y_0)$ 且與切線垂直的直線叫做曲線 $y=f(x)$ 在點 $M$ 處的法線.如果 $f'(x_0)\neq0$ ,法線的斜率爲 $-\frac{1}{f'(x_0)}$ ,從而法線方程爲:

\[y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) \]

如果 $f'(x_0)$ 爲 $\infty$ ,切線與 $x$ 軸垂直.同理,如果 $f'(x_0)=0$ ,法線與 $x$ 軸垂直.

函數的求導法則

常數和基本初等函數的導數公式

$(C)^{\prime}=0$,
$\left(x^{\mu}\right)^{\prime}=\mu x^{\mu-1}$,
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$,
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$,
$(\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x$,
$(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x$,
$(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x$,
$(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x$,
$\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a \quad(a>0, a \neq 1)$
$\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}$,
$\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}(a>0, a \neq 1)$,
$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$,
$(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$,
$(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$,
$(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$,
$(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}$.

和,差,積,商的求導法則

設 $u=u(x)$ , $v=v(x)$都可導,則

$(u±v)'=u'±v'$,
$(Cu)'=Cu'(C是常數)$,
$(uv)'=u'v+uv'$,
$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq0)$.

反函數的求導法則

設 $x=f(y)$ 在區間 $I_y$ 內單調,可導且 $f'(y)\neq 0$,則它的反函數 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x=\{x\mid x=f(y),y\in I_y\}$ 內也可導,且:

\[[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}或\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}. \]

複合函數的求導法則

如果 $u=g(x)$ 在點 $x$ 可導,而 $y=f(u)$ 在點 $u=g(x)$ 可導,那麼複合函數 $y=f[g(x)]$ 在點 $x$ 可導,其導函數爲:

\[\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x) 或 \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}. \]

高階導數

如果 $y'=f'(x)$ 作爲 $x$ 的函數在點 $x$ 可導,則稱 $y'$ 的導數爲 $y=f(x)$ 的二階導數,記爲 $y''$ , $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$ .
一般地,函數 $y=f(x)$ 的 $n$ 階導數爲 $y^{(n)}=[f^{(n-1)}(x)]'$,也可記爲 $f^{(n)}$ 或 $\frac{d^ny}{dx^n}$.

如果函數 $f(x)$ 在點 $x$ 處 $n$ 階可導,則在點 $x$ 的某鄰域內 $f(x)$ 必定具有一切低於 $n$ 階的導數.

關於 $\frac{dy}{dx}$ 的理解:老師說鏈式法則裏某個 dy/dx 不能理解爲 dy 除以 dx，爲什麼？

常用公式

$(u±v)^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}$ .
$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$ (萊布尼茨($Leibniz$)公式,與二項式定理形式類似).
$(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
$(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$

隱函數求導

設 $y=f(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 所確定的可導函數,爲求得 $y'$ 可在方程 $F(x,y)=0$ 兩邊對 $x$ 求導,可得到一個含有 $y'$ 的方程,從中解出 $y'$ 即可.

參數方程求導

若參數方程

\[\begin{cases} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t) \end{cases} \]

確定 $y$ 與 $x$ 間的函數關係,則稱此函數關係所表達的函數爲由該參數方程所確定的函數.
要計算該參數方程所確定的函數對 $x$ 的導數,我們有:

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

微分

定義

設函數 $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 的某一鄰域內有定義,如果函數的增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可以表示爲:

\[\Delta y= A\Delta x+\omicron(\Delta x),(\Delta x \to 0) \]

其中 $A$ 爲不依賴與 $\Delta x$ 的常數,則稱函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處可微,稱 $A\Delta x$ 爲函數 $f(x)$ 在點 $x_0$ 處相應於自變量增量 $\Delta x$ 的微分,記爲 $dy=A\Delta x$.

與導數的關係

函數 $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 處可微的充分必要條件是 $f(x)$ 在點 $x_0$ 處可到,且有

\[dy=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)dx. \]

在點 $x$ 處,常記爲 $dy=f'(x)dx$.

附閱:微分和導數的關係是什麼？兩者的幾何意義有什麼不同？爲什麼要定義微分 ?

幾何意義

微分 $dy=f'(x_0)dx$ 在集合上表示曲線 $y=f(x)$ 的切線上的增量.
$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 在幾何上表示曲線 $y=f(x)$ 上的增量.
$dy \approx \Delta y$.

微分的運算法則

根據微分與導數的關係,微分的運算法則和函數的求導法則基本一致,故微分的運算法則可以參考--- 函數的求導法則.
另外,微分在形式上有一個重要的性質,如下:

微分形式不變性

設 $y=f(u)$ 及 $u=g(x)$ 都可導,則複合函數 $y=f[g(x)]$ 的微分爲:

\[dy=y'_xdx=f'(u)g'(x)dx. \]

由於 $g'(x)dx=du$ ,所以,複合函數 $y=f[g(x)]$ 的微分公式也可以寫成:

\[dy=f'(u)du 或dy=y'_udu. \]

由此可見,無論 $u$ 是自變量還是中間變量,微分形式 $dy=f'(u)du$ 保持不變.這一性質稱爲微分形式不變性.

微分中值定理

費馬引理

設函數 $f(x)$ 在點 $x_0$ 的某領域 $U(x_0)$ 內有定義,並且在 $x_0$ 處可導,如果對任意的 $x\in U(x_0)$ ,有:

\[f(x)\leq f(x_0)或者f(x) \geq f(x_0) \]

那麼 $f'(x_0)=0$.

這裏的條件爲: $f(x)\leq f(x_0)$或者$f(x) \geq f(x_0)$,而非 $f(x)< f(x_0)$或者$f(x) > f(x_0)$ ,區別與極值點的定義,部分考研輔導書將費馬引理寫爲:如果在該點取得極值點,則 $f'(x_0)=0$ ,雖然也正確但感覺並不嚴謹.

羅爾中值定理

如果函數 $f(x)$ 滿足:

在閉區間 $[a,b]$ 上連續;
在開區間 $(a,b)$ 內可導;
在區間端點處的函數值相等,即 $f(a)=f(b)$,

那麼,在 $(a,b)$ 內至少存在一點 $\xi(a<\xi<b)$ ,使得 $f'(\xi)=0$.

幾何意義

拉格朗日中值定理

如果函數$f(x)$ 滿足:

在閉區間 $[a,b]$ 上連續;
在開區間 $(a,b)$ 內可導,

那麼在 $(a,b)$ 內至少有一點 $\xi(a<\xi<b)$,使等式

\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \]

成立,我們稱該等式爲拉格朗日中值公式,該公式還擁有等價形式:

\[f(b)-f(a)=f'[a+\theta(b-a)] (b-a). \]

拉格朗日中值定理在微分學中有重要地位,有時我們直接稱拉格朗日中值定理爲微分中值定理.

幾何意義

有限增量公式

設有函數$f(x)$,增量$\Delta x$,且函數在區間 $[x,x+\Delta x]$ 內連續, $(x,x+\Delta x)$ 內可導,根據拉格朗日中值定理有:

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta \Delta x)\Delta x(0<\theta<1). \]

此公式可以與函數的微分公式做對比:

\[\Delta y\approx dy=f'(x)dx=f'(x)\Delta x. \]

我們可以發現,微分公式描述的是函數的增量 $\Delta y$ 的近似表達式,只有當 $\Delta x \to 0$ 時, $dy$ 與 $\Delta y$ 的誤差才趨於零, 而上面使用拉格朗日中值定理的公式卻給出了自變量取得有限增量 $\Delta x$時,函數增量 $\Delta y$ 的準確表達式.因此,拉格朗日中值定理也被叫做有限增量定理,上面的公式稱爲有限增量公式.

柯西中值定理

如果函數 $f(x)$ 及 $F(x)$ 滿足:

在閉區間 $[a,b]$ 上連續;
在開區間 $(a,b)$ 內可導;
對任一 $x\in (a,b)$ ,$F'(x)\neq0$,

那麼在 $(a,b)$ 內至少有一點 $\xi$ ,使等式:

\[\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}. \]

成立.

拉格朗日定理可以看作柯西中值定理的特殊情況,羅爾定理可以看作拉格朗日中值定理的特殊情況.

洛必達法則

如果函數 $f(x)$ 和 $F(x)$ 滿足:

當 $x \to a$ 時,函數 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趨於零;
在點 $a$ 的某去心鄰域內,$f'(x)$ 及 $F'(x)$ 都存在且 $F'(x)\neq 0$ ;
$\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在(或爲無窮大),

則:

\[\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}. \]

這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱爲洛必達法則.
對於 $x\to \infty$ 時的未定式 $\frac{0}{0}$ 以及對於 $x\to a$ 或 $x\to \infty$ 時的未定式 $\frac{\infty}{\infty}$ 也有相應的洛必達法則.

未定式
當 $x\to a$ 時,兩個函數 $f(x)$ 與 $F(x)$ 都趨於零或都趨於無窮大,那麼極限 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}$ 可能存在也可能不存在,我們把這類無法直接通過極限運算法則得出極限值的極限稱爲未定式.
除了上面說的 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 外,常見的未定式還有 $\infty-\infty,0 \cdot\infty,1^\infty,\infty^0,0^0$ ,這五種未定式均可通過一些方法(取對數,通分,等價無窮小替換等方法)轉換爲 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 後直接使用洛必達法則來求極限(前提是極限存在)

另外,洛必達法則只是求解未定式極限的一種方法,當洛必達法則可以求出極限時,所求極限一定等於該值.如果無法通過洛必達法則求出未定式的極限,並不能說明該未定式的極限不存在.

泰勒中值定理

如果函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處具有 $n$ 階導數,那麼存在 $x_0$ 的一個鄰域,對於該鄰域內的任一 $x$ ,有:

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \]

其中,若:

\[R_n(x)=\omicron((x-x_0)^n). \]

稱該公式爲函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的帶有佩亞諾餘項的 $n$ 階泰勒公式,而 $R_n(x)$ 稱爲佩亞諾餘項.
若:

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}(\xi 是x_0與x之間的某個值), \]

稱該公式爲函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的帶有拉格朗日餘項的 $n$ 階泰勒公式,而 $R_n(x)$ 稱爲拉格朗日餘項.
如果上面的公式中 $x_0=0$ 則稱爲麥克勞林公式.

所謂的餘項就是原函數與多項式的誤差.

常用麥克勞林公式

\[\begin{aligned} &(1).e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right) \\ &(2).\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left(x^{2 n+2}\right) \\ &(3).\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right) \\ &(4).\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \\ &(5).(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !}+x^{n}+\omicron\left(x^{n}\right) \end{aligned} \]

附閱:如何巧記麥克勞林級數？

一元函數微分學的應用

確定函數圖像

利用函數的單調性,極值,曲線的凹凸性,拐點及漸近線可以做出函數圖像.

函數的單調性的判定

設函數 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續,在 $(a,b)$ 內可導.

如果在 $(a,b)$ 內 $f'(x)\geq 0$ ,且等號僅在有限多個點處成立,那麼函數 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上單調增加;
如果在 $(a,b)$ 內 $f'(x)\leq 0$ ,且等號僅在有限多個點處成立,那麼函數 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上單調減少.

函數的極值

設函數 $f(x)$ 在點 $x_0$ 附近某鄰域 $U(x_0)$ 內有定義,如果對於去心鄰域 $\mathring{U}(x_0)$ 內的任一 $x$ ,有

\[f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0)) \]

那麼就稱 $f(x_0)$ 是函數 $f(x)$ 的一個極大值(或極小值).
函數的極大值與極小值統稱爲函數的極值,是函數取得極值的點稱爲極值點.

函數極值的存在條件

必要條件:
設函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處可導,且在 $x_0$ 處取得極值,則 $f'(x_0)=0$ .
第一充分條件:
設函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處連續,且在 $x_0$ 的某去心鄰域 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 內可導.
(1). 若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 時, $f'(x)>0$ ,而 $x\in (x_0,x_0+\delta)$ ,$f'(x)<0$ ,則 $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極大值;
(2). 若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 時, $f'(x)<0$ ,而 $x\in (x_0,x_0+\delta)$ ,$f'(x)>0$ ,則 $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極小值;
(3). 若 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta)$ 時,$ f'(x)$ 的符號保持不變,則 $f(x)$ 在 $x_0$ 處沒有極值.
第二充分條件:
設函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處具有二階導數且 $f'(x_0)=0$ ,$f''(x_0)\neq 0$ ,則:
(1). 當 $f''(x_0)<0$ 時,函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極大值.
(2). 當 $f''(x_0)>0$ 時,函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處取得極小值.

求函數極值的一般方法

求出導數 $f'(x)$ ;
求出 $f(x)$ 的全部駐點與不可導點;
考察 $f'(x)$ 的符號在每個駐點或不可導點的左,右鄰近情形,以確定該點是否爲極值點;如果是極值點,進一步確定是極大值還是極小值點.(如果函數在駐點二階可導,且二階導不爲 $0$ ,那麼我們可以通過二階導的正負來確定其是極大值還是極小值點.)
求出極值點的函數值,就得到了函數 $f(x)$ 的全部極值.

駐點:一階導數值爲 $0$ 的點.

函數的最大值最小值

可用如下方法求出 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值.

求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內的駐點及不可導點;
計算 $f(x)$ 在上述駐點,不可導點處的函數值及 $f(a)$ ,$f(b)$ ;
比較 2 中諸值的大小,其中最大的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值,最小值的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值.

注意:該方法求得是閉區間函數的最大值最小值,至於開區間,我們無法確定其最大值和最小值是否存在.

曲線的凹凸性與拐點

凹凸性的定義

設 $f(x)$ 在區間 $I$ 上連續,如果對 $I$ 上任意兩點 $x_1$ ,$x_2$ 恆有

\[f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1+x_2)}{2}, \]

那麼稱 $f(x)$ 在 $I$ 上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)(如下圖第一個圖像);如果恆有

\[f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1+x_2)}{2}, \]

那麼稱 $f(x)$ 在 $I$ 上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)(如下圖第二個圖像).

凹凸性的判定

設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續,在 $(a,b)$ 內具有一階和二階導數,那麼

若在 $(a,b)$ 內 $f''(x)>0$ ,則 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的圖形是凹的;
若在 $(a,b)$ 內 $f''(x)<0$ ,則 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的圖形是凸的;

拐點

一般地,設 $y=f(x)$ 在區間 $I$ 上連續, $x_0$ 是 $I$ 內的點.如果曲線 $y=f(x)$ 在經過點 $(x_0,f(x_0))$ 時,曲線的凹凸性改變了,那麼就稱點 $(x_0,f(x_0))$ 爲曲線的拐點.
下面介紹在區間 $I$ 上尋找連續函數 $f(x)$ 的拐點的步驟:

求 $f''(x)$
令 $f''(x)=0$ ,解出這方程在區間 $I$ 內的實根,並求出在區間 $I$ 內 $f''(x)$ 不存在的點.
對於 2 中求出的每一個實根或二階導不存在的點 $x_0$ ,檢查 $f''(x)$ 在 $x_0$ 左,右兩側臨近的符號,那麼當兩側的符號相反時,點 $(x_0,f(x_0))$ 是拐點,否則不是拐點.

函數的漸近線

若點 $M$ 沿曲線 $y=f(x)$ 無限遠離原點時,它與某條定直線 $L$ 之間的距離將趨近於零,則稱直線 $L$ 爲曲線 $y=f(x)$ 的一條漸進線.若直線 $L$ 與 $x$ 軸平行,則稱 $L$ 爲曲線 $y=f(x)$ 的水平漸近線;若直線 $L$ 與 $x$ 軸垂直,則稱 $L$ 爲曲線 $y=f(x)$ 的垂直漸近線;若直線 $L$ 既不平行與 $x$ 軸,也不垂直與 $x$ 軸,則稱直線 $L$ 爲曲線 $y=f(x)$ 的斜漸近線.

水平漸近線

若 $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A$(或$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$,或$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$) ,那麼 $y=A$ 是曲線 $y=f(x)$ 水平漸近線.

垂直漸近線

若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$(或$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$,或$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$) ,那麼 $x=x_0$ 是曲線 $y=f(x)$ 垂直漸近線.

斜漸近線

若 $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a$,且 $\lim\limits_{x\to \infty}(f(x)-ax)=b$(或 $x\to -\infty$ ,或 $x\to +\infty$ ),那麼 $y=ax+b$ 是曲線 $y=f(x)$ 的漸近線.

曲率

弧微分

設函數 $f(x)$ 在區間 $(a, b)$ 內具有連續導數. 在曲線 $y=f(x)$ 上取固定點 $M_{0}(x_{0}, y_{0})$ 作爲度量弧長的基點 (如下圖), 並規定依 $x$ 增大的方向作爲曲線的正向.對曲線上任一點 $M(x, y)$,規定有向弧段 $\overgroup{M_{0} M}$ 的值 $s$ (簡稱爲弧 $s$)如下: $s$ 的絕對值等於這弧段的長度, 當有向弧段 $\overgroup{M_{0} M}$ 的方向與曲線的正向一致時 $s>0$,相反時 $s<0$.顯然,弧 $s$ 與 $x$ 存在函數關係: $s=s(x)$ ,而且 $s(x)$ 是 $x$ 的單調增加函數.下面給出 $s(x)$ 的微分公式:

\[ds=\sqrt{1+y'^2}dx. \]

曲率計算公式

設曲線 $C$ 是光滑的,在曲線 $C$ 上選定一點 $M_{0}$ 作爲度量弧 $s$ 的基點. 設曲線上點 $M$ 對應於弧 $s$,在點 $M$ 處切線的傾角爲 $\alpha$ (這裏假定曲線 $C$ 所在的平面上已設立了 $x O y$ 座標系),曲線上另外一點 $M^{\prime}$ 對應於弧 $s+\Delta s$, 在點 $M^{\prime}$ 處切線的傾角爲 $\alpha+\Delta\alpha$ (如下圖), 則弧段 $\overgroup{M M}'$ 的長度爲 $\mid\Delta s\mid$, 當動點從 $M$ 移動到 $M'$ 時切線轉過的角度爲 $\mid\Delta \alpha\mid$. 我們用比值 $\frac{\mid\Delta \alpha\mid}{\mid\Delta s\mid}$來表示曲線在這一段上的平均曲率.
若該曲線二階可導,則有函數在一點上的曲率爲:

\[K=\frac{\mid y''\mid}{(1+y'^2)^{3/2}} \]

曲率圓以及曲率半徑

設曲線 $y=f(x)$ 在點 $M(x,y)$ 處的曲率爲 $K(K\neq0)$ .在點 $M$ 處的曲線的法線上,在凹的一側取一點 $D$ ,使 $\mid DM\mid=\frac{1}{K}=\rho$ .以 $D$ 爲圓心, $\rho$ 爲半徑作圓(如下圖),這個圓叫做曲線在點 $M$ 處的曲率圓,曲率圓的圓心 $D$ 叫做曲線在點 $M$ 處的曲率中心,曲率圓的半徑 $\rho$ 叫做曲線在點 $M$ 處的曲率半徑.