关系演算
概述
(这部分的内容大多与离散数学有关，我没有相关基础，所以现在只是简单看一下)
关系演算是以数理逻辑中的谓词演算为基础的。
关系演算是描述关系运算的另一种思维方式。
SQL语言是继承了关系代数和关系演算各自的优点所形成的。
按照谓词变量的不同，可分为关系元组演算和关系域演算：
关系元组演算是以元组变量作为谓词变量的基本对象。
关系域演算是以域变量作为谓词变量的基本对象。
关系元组演算
基本形式
关系元组演算公式的基本形式：
{t|P(t)}
上式表示：所有使谓词P为真的元组t的集合
t是元组变量
t∈r表示元组t在关系r中
t[A]表示元组t的分量，即t在属性A上的值
P是与谓词逻辑相似的公式，P(t)表示以元组t为变量的公式
定义
P(t)递归定义：
关系元组演算的基本形式：{t|P(t)}
其中公式P(t)可以递归地进行构造：
三种形式的原子公式是公式：
s∈R、s[A]θc、s[A]θu[B]
如果P是公式，那么┐P也是公式
如果P1,P2是公式，则P1∨P2，P1∧P2也是公式。
如果P(t)是公式，R是关系，则∃(t∈R)(P(t))和∀(t∈R)(P(t))也是公式。
需要时可加括弧
上述运算符的优先次序自高至底为：括弧;θ;∀;∃;┐;∧;∨
公式只限于以上形式
存在量词和全称量词∃∀
运算符∃∀，又称为量词，前者称“存在量词”，后者称“全称量词”
而被∃或∀限定的元组变量t，或者说，元组变量t前有存在量词或全称量词，则该变量被称为“约束变量”，否则被称为“自由变量”。
例如：“检索出年龄不是最小的所有同学”
{t|t∈Student∧∃(u∈Student)(t[Sage]>u[Sage])}
等价变换
P(t)公式，如谓词演算一样，也有一系列演算的等价性
关系域演算
基本形式
关系域演算公式的基本形式：{<x1,x2,...,xn>|P(x1,x2,...,xn)}
其中xi代表域变量或常量，P为以xi为变量的公式。
递归定义
公式P可以递归地进行构造：
·<x1, x2, …, xn>∈r，其中r为n个属性上的关系，x1, x2, …, xn为域变量或域常量；
·x𝚯y，其中x和y为域变量，𝚯为比较运算符（要求属性x和y所属域可用𝚯比较）；
·x𝚯c，其中x为域变量，c是x作为域变量的那个属性域中的常量。
根据如下规则用原子构造公式：
·原子是公式；
·如果P1是公式，则¬P1和(P1)也都是公式；
·如果P1和P2是公式，则P1∨P2、P1∧P2和P1⇒P2也都是公式；
·如果P1(x)是包含自由域变量x的公式，则∃x(P1(x))和∀x(P1(x))也都是公式。
关系运算之安全性
"不产生无限关系和无穷验证的运算被称为是安全的"
1.关系代数是一种集合运算，是安全的
集合本身是有限的，有限元素集合的有限次运算仍旧是有限的。
2.关系演算不一定是安全的
例如：{t|┐(R(t))},{t|R(t)∨t[2]>3}可能表示无限关系
再例如：(∃u)(P(u)),(∀u)(P(u))
前者称为“假验证”，因为其要验证所有元素是否为假，后者称为“真验证”，因为其要验证所有元素是否为真。这样可能就存在了无穷验证。
安全约束有限集合
需要对关系演算施加约束条件，即任何公式都在一个集合范围内操作，而不是无限范围内操作，才能保证其安全性。
DOM（ρ）是一个有限集合，其中每个符号要么是ρ明显出现的符号，要么是出现在ρ中的某个关系R的某元组的分量。
DOM主要用于约束ρ中一些谓词的计算范围，它不必是最小集合。
关于三种关系运算的一些观点
关系运算有三种：关系代数、关系元组演算和关系域演算
三种关系运算都是抽象的数学运算，体现了三种不同的思维
关系代数--以集合为对象的操作思维，由集合到集合的变换。
元组演算--以元组为对象的操作思维，取出关系的每一个元组进行验证，有一个元组变量则可能需要一个循环，多个元组变量则需要多个循环。
域演算--以域变量为对象的操作思维，取出域的每一个变量进行验证看其是否满足条件。
三种运算之间是等价的
关系代数与安全的元组演算表达式与安全的域演算表达式是等价的。即一种形式的表达式可以被等价地转换为另一种形式。
三种关系运算都可说是非过程性的
相比之下：域演算的非过程性最好，元组演算次之，关系代数最差。
三种关系运算虽然是抽象的，但却是衡量数据库语言完备性的基础：
一个数据库语言如果能够等价地实现这三种运算的操作，则说该语言是完备的。
目前多数数据库语言都能够实现这三种运算的操作，在此基础上还增加了许多其他的操作，如赋值操作、聚集操作等。