配合閱讀：https://blog.csdn.net/nandina179/article/details/85330552
今天學習了第三種圖像縮放的方法，雙三次插值法。由於理解能力比較差，看了好久的公式，還是雲裏霧裏，但是爲了督促自己學習，還是把已知的部分記錄下來。
數學原理
假設源圖像A大小爲m*n，縮放後的目標圖像B的大小爲M*N。那麼根據比例我們可以得到B(X,Y)在A上的的
對應座標爲A(x,y)=A(X*(m/M),Y*(n/N))。在雙線性插值法中，我們選取A(x,y)的最近四個點。而在雙立方
插值法中，我們選取的是最近的16個像素點作爲計算目標圖像B(X,Y)處像素值的參數。如圖所示：
如圖所示P點就是目標圖像B在(X,Y)處對應於源圖像中的位置，P的座標位置會出現小數部分，所以我們假設
P的座標爲P(x+u,y+v)，其中x,y分別表示整數部分，u,v分別表示小數部分。那麼我們就可以得到如圖所示的
最近16個像素的位置，在這裏用a(i,j)(i,j=0,1,2,3)來表示。
雙立方插值的目的就是通過找到一種關係，或者說係數，可以把這16個像素對於P處像素值得影響因子找出
來，從而根據這個影響因子來獲得目標圖像對應點的像素值，達到圖像縮放的目的。
我在這次的學習中學習的是基於BiCubic基函數的雙三次插值法，BiCubic基函數形式如下：
我們要做的就是求出BiCubic函數中的參數x,從而獲得上面所說的16個像素所對應的係數。在學習雙線性插
值法的時候，我們是把圖像的行和列分開來理解的，那麼在這裏，我們也用這種方法描述如何求出a(i,j)對應
的係數k_ij。假設行係數爲k_i,列係數爲k_j。我們以a00位置爲例：
首先，我們要求出當前像素與P點的位置，比如a00距離P(x+u,y+v)的距離爲(1+u,1+v)。
那麼我們可以得到：k_i_0=W(1+u),k_j_0=W(1+v).
同理我們可以得到所有行和列對應的係數：
k_i_0=W(1+u), k_i_1=W(u), k__i_2=W(1-u), k_i_3=W(2-u);
k_j_0=W(1+v), k_j_1=W(v), k_j_2=W(1-v), k_j_3=W(2-v);
這樣我們就分別得到了行和列方向上的係數。
由k_i_j=k_i*k_j我們就可以得到每個像素a(i,j)對應的權值了。
最後通過求和公式可以得到目標圖片B(X,Y)對應的像素值：
pixelB(X,Y)=pixelA(0,0)*k_0_0+pixelA(0,1)*k_0_1+…+pixelA(3,3)*k_3_3;
這裏其實就是個求和公式，由於不知道怎麼編輯公式，就這樣表達了。
程序實現
/**********************10-9*******************************
功能：雙三次插值縮放圖片
數學原理：假設原圖像A的大小爲m*n,新圖像B的大小爲M*N
如果我們要求B（X,Y）處的像素值：
我們首先可以得到B（X,Y）在圖像A中對應的位置（x,y）=(X*(m/M),Y*(N/n))
這個時候求得的x,y是小數值，我們可以通過這個小數值座標找到距離最近的16個像素點，
利用所選擇的基函數，求出對應的每個像素的權值，最終獲得pixelB（X,Y）
**********************************************************/
#include <opencv2\opencv.hpp>
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
using namespace cv;
float a = -0.5;//BiCubic基函數
void getW_x(float w_x[4], float x);
void getW_y(float w_y[4], float y);
int main(){
Mat image = imread("lena.jpg");//源圖像
float Row_B = image.rows*2;
float Col_B = image.cols*2;
Mat biggerImage(Row_B, Col_B, CV_8UC3);
for (int i = 2; i < Row_B-4; i++){
for (int j = 2; j < Col_B-4; j++){
float x = i*(image.rows / Row_B);//放大後的圖像的像素位置相對於源圖像的位置
float y = j*(image.cols / Col_B);
/*if (int(x) > 0 && int(x) < image.rows - 2 && int(y)>0 && int(y) < image.cols - 2){*/
float w_x[4], w_y[4];//行列方向的加權係數
getW_x(w_x, x);
getW_y(w_y, y);
Vec3f temp = { 0, 0, 0 };
for (int s = 0; s <= 3; s++){
for (int t = 0; t <= 3; t++){
temp = temp + (Vec3f)(image.at<Vec3b>(int(x) + s - 1, int(y) + t - 1))*w_x[s] * w_y[t];
}
}
biggerImage.at<Vec3b>(i, j) = (Vec3b)temp;
}
}
imshow("image", image);
imshow("biggerImage", biggerImage);
waitKey(0);
return 0;
}
/*計算係數*/
void getW_x(float w_x[4],float x){
int X = (int)x;//取整數部分
float stemp_x[4];
stemp_x[0] = 1 + (x - X);
stemp_x[1] = x - X;
stemp_x[2] = 1 - (x - X);
stemp_x[3] = 2 - (x - X);
w_x[0] = a*abs(stemp_x[0] * stemp_x[0] * stemp_x[0]) - 5 * a*stemp_x[0] * stemp_x[0] + 8 * a*abs(stemp_x[0]) - 4 * a;
w_x[1] = (a + 2)*abs(stemp_x[1] * stemp_x[1] * stemp_x[1]) - (a + 3)*stemp_x[1] * stemp_x[1] + 1;
w_x[2] = (a + 2)*abs(stemp_x[2] * stemp_x[2] * stemp_x[2]) - (a + 3)*stemp_x[2] * stemp_x[2] + 1;
w_x[3] = a*abs(stemp_x[3] * stemp_x[3] * stemp_x[3]) - 5 * a*stemp_x[3] * stemp_x[3] + 8 * a*abs(stemp_x[3]) - 4 * a;
}
void getW_y(float w_y[4], float y){
int Y = (int)y;
float stemp_y[4];
stemp_y[0] = 1.0 + (y - Y);
stemp_y[1] = y - Y;
stemp_y[2] = 1 - (y - Y);
stemp_y[3] = 2 - (y - Y);
w_y[0] = a*abs(stemp_y[0] * stemp_y[0] * stemp_y[0]) - 5 * a*stemp_y[0] * stemp_y[0] + 8 * a*abs(stemp_y[0]) - 4 * a;
w_y[1] = (a + 2)*abs(stemp_y[1] * stemp_y[1] * stemp_y[1]) - (a + 3)*stemp_y[1] * stemp_y[1] + 1;
w_y[2] = (a + 2)*abs(stemp_y[2] * stemp_y[2] * stemp_y[2]) - (a + 3)*stemp_y[2] * stemp_y[2] + 1;
w_y[3] = a*abs(stemp_y[3] * stemp_y[3] * stemp_y[3]) - 5 * a*stemp_y[3] * stemp_y[3] + 8 * a*abs(stemp_y[3]) - 4 * a;
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注：由於作者編程能力有限，希望有人能指正一下怎麼優化這裏的程序，這個程序只是實現了算法，運行
速度慢的要死不能忍受！
