Hilbert矩陣

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希爾伯特變換（Hilbert Transform）簡介及其物理意義

Hilbert變換簡介

希爾伯特變換是信號處理中的一種常用手段，數學定義如下：

與卷積的概念進行對比，可以發現，上面的Hilbert變換的表達式實際上就是將原始信號和一個信號做卷積的結果。這個用來卷積的信號就是

h(t)=1πth(t)=1πt

因此，Hilbert變換可以看成是將原始信號通過一個濾波器，或者一個系統，這個系統的衝擊響應爲h(t)。

對h(t)做傅里葉變換，可以得到：

H(jω)=−jsgn(ω)H(jω)=−jsgn(ω)

或者寫成：

sgn()是符號函數。從頻譜上來看，這個濾波器將我們的原始信號的正頻率部分乘以-j，也就是說，保持幅度不變的條件下，將相位移動了-pi/2，而對於負頻率成分，移動了pi/2。

下面這個示意圖很直觀地表示了Hilbert變換，在這裏我畫出了對原始信號做1到4次Hilbert變換的頻譜示意圖，是爲了說明Hilbert變換的幾個性質：

首先，可以看到，兩次希爾伯特變換後，原信號相位翻轉了180°，所以，Hilbert逆變換的公式顯而易見，就是將正變換加一個符號即可。另外，還可以看到，Hilbert變換四次後就變回本身了。還有其它的性質，比如：

• 如果一個信號是兩個信號的卷積，即 y = conv(v,x) ，那麼Hilbert(y) = conv(Hilbert(v),x) = conv(v,Hilbert(x))

這個性質，只要意識到Hilbert變換本質上是卷積就可以明白。

• x(t) 和 Hilbert(x(t))的能量以及平均功率相等，相關函數和功率譜相同。

Hilbert變換物理意義

解析過程概念

對於一個實隨機過程x(t)x(t)爲它的希爾伯特變換，那麼定義復隨機過程：

x~(t)=x(t)+x^(t)x~(t)=x(t)+x^(t)

爲x(t)的解析過程。

這個過程有如下特點，首先，實部和虛部功率譜相同，自相關函數相同；另外，實部和虛部的互相關函數是一個奇函數。其他的還有：

RX^X(τ)=−R^X(τ)RX^X(τ)=−R^X(τ)

RXX^(τ)=R^X(τ)RXX^(τ)=R^X(τ)

RX~(τ)=2[RX(τ)+jR^X(τ)]RX~(τ)=2[RX(τ)+jR^X(τ)]

以及一個最重要的特點，就是解析信號的功率譜只有正頻段，強度爲原來的四倍。或者說是隻有正頻段且幅度值爲原來的兩倍：

歐拉公式（Euler‘s formula）的啓發

歐拉一生中有公式和定理，這裏說的歐拉公式指的是這個：

這個公式說明，用復指數信號可以表示成一個實數信號和一個虛數信號的和的形式。而且，這個實部和虛部是有關係的，一個是cos，一個是sin，兩者相差pi/2，看sin和cos的傅里葉變換：

可以看出，在正頻率上和負頻率上兩者的相位上的先後順序剛好相反，但是都是保持90°的差值。

看到這裏，大概可以理解Hilbert變換的用意了吧。歐拉公式實際上是一種特殊的，或者說，最簡單的Hilbert變換。

復指數信號，就是等號左邊的那個，頻譜就是一個脈衝，而且是2πδ(ω−ω0)2πδ(ω−ω0)。只有正頻率，且是兩倍。雖然時域上是複數，但是在頻域只有正分量，實際上是一種簡化。

希爾伯特變換的意義

首先，將實數信號變換成解析信號的結果就是，把一個一維的信號變成了二維複平面上的信號，複數的模和幅角代表了信號的幅度和相位，如圖所示：（圖片來源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/25250010）

這樣看來，似乎複數信號纔是完整的，而實信號只是在複平面的實軸上的一個投影。我們知道，解析信號可以計算包絡（瞬時振幅）和瞬時相位。在上圖中可以看到，實際上我們計算的包絡就是黑色的線圍成的立體圖形的邊界在實部的投影，而計算這個邊的投影也很簡單，就是在複平面上的螺旋線中的每一個點的模值，也就是A(t) = sqrt(x^2(t) + Hilbert(x(t))^2)，而瞬時相位就是虛部（Hilbert變換後的）和實部（原始信號）在某一時間點的比值的arctan，瞬時頻率就是它的導數。