地球上最重要的算法
如果沒有 RSA 算法，現在的網絡世界毫無安全可言，也不可能有現在的網上交易。上一篇文章 ssh 協議爲什麼安全 中的 ssh 協議也是基於 RSA 加密算法才能確保通訊是加密的，可靠的。
1976年以前，所有的加密方法都使用對稱加密算法：加密和解密使用同一套規則。例如：甲使用密鑰 A 加密，將密文傳遞給乙，乙仍使用密鑰 A 解密。如果密鑰 A 在甲傳遞給乙的過程中泄露，或者根據已知的幾次密文和明文推導出密鑰 A，則甲乙之間的通訊將毫無祕密。
1976年，兩位美國計算機學家 Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一種嶄新構思，可以在不傳遞密鑰的情況下，完成解密。這被稱爲 Diffie-Hellman密鑰交換算法
假如甲要和乙通訊，甲使用公鑰 A 加密，將密文傳遞給乙，乙使用私鑰 B 解密得到明文。其中公鑰在網絡上傳遞，私鑰只有乙自己擁有，不在網絡上傳遞，這樣即使知道了公鑰 A 也無法解密。反過來通訊也一樣。只要私鑰不泄漏，通信就是安全的，這就是非對稱加密算法。
1977年，三位數學家 Rivest、Shamir 和 Adleman 設計了一種算法，可以實現非對稱加密。算法用他們三個人的名字命名，叫做 RSA 算法。直到現在，RSA 算法仍是最廣泛使用的"非對稱加密算法"。毫不誇張地說，只要有計算機網絡的地方，就有 RSA 算法。
下面我以一個簡單的例子來描述 RSA 算法。
生成密鑰對，即公鑰和私鑰
第一步：隨機找兩個質數 P 和 Q ,P 與 Q 越大，越安全。
比如 P = 67 ，Q = 71。計算他們的乘積 n = P * Q = 4757 ，轉化爲二進爲 1001010010101，該加密算法即爲 13 位，實際算法是 1024 位 或 2048 位，位數越長，算法越難被破解
第二步：計算 n 的歐拉函數 φ(n)。
φ(n) 表示在小於等於 n 的正整數之中，與 n 構成互質關係的數的個數。例如：在 1 到 8 之中，與 8 形成互質關係的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
如果 n = P * Q，P 與 Q 均爲質數，則 φ(n) = φ(P * Q)= φ(P - 1)φ(Q - 1) = (P - 1)(Q - 1) 。
本例中 φ(n) = 66 * 70 = 4620，這裏記爲 m， m = φ(n) = 4620
第三步：隨機選擇一個整數 e，條件是1< e < m，且 e 與 m 互質。
公約數只有 1 的兩個整數，叫做互質整數，這裏我們隨機選擇 e = 101
請注意不要選擇 4619，如果選這個，則公鑰和私鑰將變得相同。
第四步：有一個整數 d，可以使得 e*d 除以 m 的餘數爲 1。
即找一個整數 d，使得 (e * d ) % m = 1。
等價於 e * d - 1 = y * m ( y 爲整數）
找到 d ，實質就是對下面二元一次方程求解。
e * x - m * y =1 ，其中 e = 101，m = 4620
101x - 4620y =1
這個方程可以用"擴展歐幾里得算法"求解，此處省略具體過程。 總之算出一組整數解（x，y ）= （ 1601，35），即 d = 1601。
到此密鑰對生成完畢。不同的 e 生成不同的 d，因此可以生成多個密鑰對。
本例中公鑰爲 （n，e) = (4757 , 101)，私鑰爲 （n，d) = (4757 ，1601) ，僅（n，e) = (4757 , 101) 是公開的，其餘數字均不公開。可以想像如果只有 n 和 e，如何推導出 d，目前只能靠暴力破解，位數越長，暴力破解的時間越長。
加密生成密文 。
比如甲向乙發送漢字“中”，就要使用乙的公鑰加密漢字 "中"， 以 utf-8 方式編碼爲 [e4 b8 ad]，轉爲 10 進製爲 [228,184,173]。要想使用公鑰（n，e) = (4757 , 101)加密，要求被加密的數字必須小於 n，被加密的數字必須是整數，字符串可以取 ascii 值或unicode值，因此將“中”字折爲三個字節 [228,184,173]，分別對三個字節加密。
假設 a 爲明文，b 爲密文，則按下列公式計算出 b
a^e % n = b
計算 [228,184,173]的密文：
228^101 % 4757 = 4296
184^101 % 4757 = 2458
173^101 % 4757 = 3263
即 [228,184,173]加密後得到密文 [4296，2458，3263] ，如果沒有私鑰 d ,神仙也無法從 [4296，2458，3263]中恢復 [228,184,173]
解密生成明文
乙收到密文 [4296，2458，3263]，並用自己的私鑰（n，d) = (4757 ，1601) 解密。解密公式如下：
假設 a 爲明文，b 爲密文，則按下列公式計算出 a
a^d % n = b
密文 [4296，2458，3263]的明文如下：
4296^1601% 4757 = 228
2458^1601% 4757 = 184
3263^1601% 4757 = 173
即密文 [4296，2458，3263] 解密後得到 [228,184,173]
將[228,184,173] 再按 utf-8 解碼爲漢字 "中"，至此解密完畢
加密和解密的過程使用了費爾馬小定理的兩種等價的描述。
最後，問題來了，有沒有可能在已知 （n，e) 的情況下，推導出 d。
根據以上密鑰生成過程：
如果想知道 d 需要知道歐拉函數 φ(n)
如果想知道歐拉函數 φ(n) 需要知道 P 和 Q
要知道 P 和 Q 需要對 n 進行因數分解。
對於本例中的 4757 你可以輕鬆進行因數分解，但對於大整數的因數分解，是一件很困難的事情，目前除了暴力破解，還沒有更好的辦法，如果以目前的計算速度，破解需要50年以上，則這個算法就是安全的。 維基百科這樣描述：
"對極大整數做因數分解的難度決定了RSA算法的可靠性。換言之，對一極大整數做因數分解愈困難，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一種快速因數分解的算法，那麼RSA的可靠性就會極度下降。但找到這樣的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密鑰纔可能被暴力破解。到2008年爲止，世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA算法的方式。
只要密鑰長度足夠長，用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。"
目前已經破解的最大整數：
1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413
=
33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793878002287614711652531743087737814467999489
x
36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666511279233373417143396810270092798736308917
即（232個十進制位，768個二進制位），目前被破解的最長RSA密鑰就是768位。實際應用中 RSA 的密鑰長度爲 1024 位，重要場合 2048 位，未來半個世紀不可能破解。