概率公式解析

定義：

P(A)：A事件發生的概率-邊緣概率

P（A|B）：在B的條件下A的概率-條件概率、後驗概率

P(AB) 、P(A,B)、P(A∩B)：AB共同發生的概率-聯合概率

P(規律|現象) = P(現象|規律)P(規律)/P(現象)

例子：

1.一座別墅在過去的 20 年裏一共發生過 2 次被盜，別墅的主人有一條狗，狗平均每週晚上叫 3 次，在盜賊入侵時狗叫的概率被估計爲 0.9，問題是：在狗叫的時候發生入侵的概率是多少？

我們假設 A 事件爲狗在晚上叫，B 爲盜賊入侵，則以天爲單位統計，P(A) = 3/7，P(B) = 2/(20*365) = 2/7300，P(A|B) = 0.9，按照公式很容易得出結果：P(B|A) = 0.9*(2/7300) / (3/7) = 0.00058

2.現分別有 A、B 兩個容器，在容器 A 裏分別有 7 個紅球和 3 個白球，在容器 B 裏有 1 個紅球和 9 個白球，現已知從這兩個容器裏任意抽出了一個紅球，問這個球來自容器 A 的概率是多少?

假設已經抽出紅球爲事件 B，選中容器 A 爲事件 A，則有：P(B) = 8/20，P(A) = 1/2，P(B|A) = 7/10，按照公式，則有：P(A|B) = (7/10)*(1/2) / (8/20) = 0.875

3.挑戰者B不知道原壟斷者A是屬於高阻撓成本類型還是低阻撓成本類型，但B知道，如果A屬於高阻撓成本類型，B進入市場時A進行阻撓的概率是20%（此時A爲了保持壟斷帶來的高利潤，不計成本地拼命阻撓）；如果A屬於低阻撓成本類型，B進入市場時A進行阻撓的概率是100%。

博弈開始時，B認爲A屬於高阻撓成本企業的概率爲70%，因此，B估計自己在進入市場時，受到A阻撓的概率爲：

0.7×0.2+0.3×1=0.44

0.44是在B給定A所屬類型的先驗概率下，A可能採取阻撓行爲的概率。

當B進入市場時，A確實進行阻撓。使用貝葉斯法則，根據阻撓這一可以觀察到的行爲，B認爲A屬於高阻撓成本企業的概率變成

A屬於高成本企業的概率=0.7（A屬於高成本企業的先驗概率）×0.2（高成本企業對新進入市場的企業進行阻撓的概率）÷0.44=0.32

根據這一新的概率，B估計自己在進入市場時，受到A阻撓的概率爲：

0.32×0.2+0.68×1=0.744

如果B再一次進入市場時，A又進行了阻撓。使用貝葉斯法則，根據再次阻撓這一可觀察到的行爲，B認爲A屬於高阻撓成本企業的概率變成。

A屬於高成本企業的概率=0.32（A屬於高成本企業的先驗概率）×0.2（高成本企業對新進入市場的企業進行阻撓的概率）÷0.744=0.086

這樣，根據A一次又一次的阻撓行爲，B對A所屬類型的判斷逐步發生變化，越來越傾向於將A判斷爲低阻撓成本企業了。

題目解析：

A1=1-A2
P(A1|B)=阻撓的情況下A爲高成本的概率
P(B|A1)   =A爲高阻撓成本的情況下阻撓的概率        0.2
P(B|A2)   =A爲低阻撓成本的情況下阻撓的概率       1
P(A1)    =A爲高阻撓成本的概率           0.7
P(A2)    =A爲低阻撓成本的概率           0.3
P(B)    =阻撓的概率

例子：
P(A1|B1)   =報名的情況下A爲男生的概率            0.4       12
P(A1|B2)   =報名的情況下A爲女生的概率           0.6       18
P(B1|A1)   =A爲男生情況下報名的概率
P(B1|A2)   =A爲女生的情況下報名的概率
P(A1)    =A爲男生的概率               0.4       400
P(A2)    =A爲女生的概率               0.6       600
P(B1)    =A報名的概率               0.03       30
P(B2)   =A不報名的概率               0.97       970
求A爲男生的情況下報名的概率

P(B1|A1)   = P(A|Bi)P(Bi)/ΣjP(A|Bj)P(Bj)
   = P(A1|B1)P(B1)/(P(A1|B1)P(B1))+(P(A1|B2)P(B2))
   = 0.4*0.03/(0.4*0.03)+0.6*0.97
   =0.012/(0.012+0.582)
   ≈0.02

引用：

用一個引例介紹後面兩個公式：村子裏有三個小偷，事件B={村子失竊}，已知小偷們的偷竊成功率依次是，除夕夜去偷的概率依次是