2018-2019 ICPC, NEERC, Northern Eurasia Finals 部分題解

$I$
感覺這題非常厲害
爲了方便解釋，做以下約定
$1.$將全序列$p_1,p_2...p_n$記爲$A$
$2.$將$A$的某個嚴格子區間記作$B_i$

題目把 interval 定義爲值域大小和區間大小相等的$B_i$
我們定義maximal interval爲不被任意一個interval完整包含的interval

有一個重要結論：如果兩個maximal interval $B_x,B_y$相交，那麼區間$B_x∪B_y$一定符合interval的定義，又因爲$B_x,B_y$是maximal interval，所以若他們相交，那麼並一定就是$A$

考慮算出$n$的全排列裏所有不合法的排列
依據這個結論，我們可以將不合法的排列分爲兩類
類型$1：$存在兩個maximal interval $B_u,B_v$，使$B_u∪B_v=A$
類型$2：$A爲大於等於3個maximal interval挨着連在一起組成

我們先考慮類型$1$，它可以分爲$B_u$和$B_v$相交或相鄰兩種情況
若$B_u$和$B_v$相交，記
$B_w=B_u∩B_v,B_{u'}=B_u-B_w,B_{v'}=B_v+B_w$，
轉化完後得到的$B_{u'}和B_{v'}$是相鄰的，因此我們只要考慮$B_u,B_v$相鄰的情況

顯然可以發現$B_u,B_v$的值域分別爲$[1,k],[k+1,n]$（證明可以用反證）
不妨假設$B_u$在$B_v$的左側（右側的情況方案數是相同的）

爲了避免重複計數，我們強制令$B_u$的prefix中除了自己外，沒有任何一個prefix滿足值域爲$[1,k]$且爲interval （若存在這樣的prefix，可以通過上面那個相交變相鄰的轉化轉爲不存在）

那麼就可以統計數量了，記$f_n$爲$n$的所有排列$A$中滿足 任何一個prefix都不滿足值域爲$[1,k]$且爲interval 的排列數量
有$f_n=n!-\sum_{i=1}^{n-1}(f_i*(n-i)!)$

接着考慮類型$2$
對於某個maximal interval $B_u$，他內部是任意排的，我們唯一要滿足的限制是不存在某一段連續的maximal interval可以拼成一個interval
這個限制相當於這些maximal interval的排列是interval-free的
由於我們統計的是非法方案，因此至少存在一個maximal interval $B_v$的大小是>=2的，於是這些maximal interval的個數<n，就化成了子問題
爲了計算這種的方案數，需要一個輔助的dp

記$g_{n,k}$爲將$n$劃分成$k$段，每段內部任意排列的方案數
有$g_{n,k}=\sum_{i=k-1}^{n-1}g_{i,k-1}*(n-i)!$

然後就可以算答案了，記$ans_n$爲$n$的所有排列$A$中interval-free的排列數
$ans_n=n!-2\sum_{i=1}^{n-1}f_i*(n-i)!-\sum_{k=3}^{n-1}g_{n,k}*ans_k$

maya我的語言表達太差了，寫的題解長度可能是原題解的2倍…

code：

#include<set>
#include<map>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 405;

int n,mod;
inline void add(int &a,const int &b){ a+=b;if(a>=mod)a-=mod; }
inline void dec(int &a,const int &b){ a-=b;if(a<0) a+=mod; }

int s[maxn];
int f[maxn],ans[maxn];
int g[maxn][maxn];

int main()
{
	//freopen("tmp.in","r",stdin);
	//freopen("tmp.out","w",stdout);
	
	int Tcase; scanf("%d%d",&Tcase,&mod);
	
	s[0]=1; for(int i=1;i<maxn;i++) s[i]=(ll)s[i-1]*i%mod;
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		f[i]=s[i];
		for(int j=1;j<i;j++) dec(f[i],(ll)f[j]*s[i-j]%mod);
	}
	g[0][0]=1;
	for(int i=1;i<maxn;i++) for(int j=1;j<=i;j++)
	{
		for(int k=j-1;k<i;k++) add(g[i][j],(ll)g[k][j-1]*s[i-k]%mod);
	}
	
	ans[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		ans[i]=s[i];
		for(int j=1;j<i;j++) if(i-j>1||j>1)
			dec(ans[i],2ll*f[j]%mod*s[i-j]%mod);
		for(int k=3;k<i;k++) dec(ans[i],(ll)g[i][k]*ans[k]%mod);
	}
	
	while(Tcase--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",ans[n]);
	}
	
	return 0;
}

先寫這麼多剩下的心情好的時候填坑