BZOJ5212: [Zjoi2018]歷史

一個LCT，已知每個點的Access次數，每次Access點x時，往上遇到的輕邊數會產生貢獻，求最大貢獻和

先不考慮修改

我們定義輕邊的父親節點爲產生這次貢獻的節點
可以發現每個點產生的貢獻只和其子樹裏相鄰的Access操作是否相同有關，且他們是互相獨立的
於是最大貢獻和=每個點貢獻的最大值的和

考慮一個點貢獻的最大值，設這個子樹裏總Access操作有siz次，幾個孩子的子樹和他自己的Access操作是ai
那麼問題等價於共有siz個球，第i種顏色有ai個球，若擺放的相鄰兩個球顏色不同就會有1的價值，最大化擺放的價值和
設球最多的顏色有k個球，貪心可得最大的價值和就是min(siz−1,(siz−k)∗2)$min(siz-1,(siz-k)\ast 2)$

於是沒有修改的情況我們可以用一個dfs，O(n)的求出解

對於有修改的情況

我們定義當y是x的兒子且siz[y]∗2>siz[x]$siz[y]\ast 2>siz[x]$ 時y是x的重兒子，否則就是輕兒子
那麼當x有重兒子時x的最大價值是(siz[x]−siz[son])∗2$(siz[x]-siz[son])\ast 2$ ，否則是siz[x]−1$siz[x]-1$
我們用LCT去維護這個剖分結構

修改一個點，只會影響他的所有祖先的價值，
且因爲當siz[y]∗2>siz[x]$siz[y]\ast 2>siz[x]$ 時，有(siz[y]+w)∗2>siz[x]+w(w>0),siz[x]−siz[y]=(siz[x]+w)−(siz[y]+w)$(siz[y]+w)\ast 2>siz[x]+w(w>0),siz[x]-siz[y]=(siz[x]+w)-(siz[y]+w)$ ，所以x往上的重邊是不用管的，他們仍然是重邊且價值不變
輕邊只會有log條，對於每條輕邊暴力去重新維護就行了

code：

#include<set>
#include<map>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

inline void read(int &x)
{
    char c; while(!((c=getchar())>='0'&&c<='9'));
    x=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') (x*=10)+=c-'0';
}
inline void up(ll &a,const ll &b){if(a<b)a=b;}
const int maxn = 510000;

int n,m;
int ai[maxn];
struct edge{int y,nex;}a[maxn<<1]; int len,fir[maxn];
inline void ins(const int x,const int y){a[++len]=(edge){y,fir[x]};fir[x]=len;}

int Fa[maxn];
ll mxs[maxn],siz[maxn],ans;
void dfs(const int x)
{
    siz[x]=mxs[x]=ai[x];
    for(int k=fir[x],y=a[k].y;k;k=a[k].nex,y=a[k].y) if(y!=Fa[x])
    {
        Fa[y]=x;
        dfs(y);
        siz[x]+=siz[y];
        up(mxs[x],siz[y]);
    }
    ans+=min(siz[x]-1ll,(siz[x]-mxs[x])*2ll);
}

struct Link_Cut_Tree
{
    int son[maxn][2],fa[maxn];
    ll fl[maxn],s[maxn],s2[maxn];
    bool isrt(int x){ return son[fa[x]][0]!=x&&son[fa[x]][1]!=x; }
    void pushdown(int x)
    {
        if(fl[x])
        {
            ll fc=fl[x]; fl[x]=0;
            int lc=son[x][0],rc=son[x][1];
            if(lc) fl[lc]+=fc,s[lc]+=fc;
            if(rc) fl[rc]+=fc,s[rc]+=fc;
        }
    }
    int t[maxn],tp;
    void Down(int x)
    {
        while(!isrt(x)) t[++tp]=x,x=fa[x];
        t[++tp]=x;
        while(tp) pushdown(t[tp--]);
    }
    void rot(int x)
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(!isrt(y)) son[z][son[z][1]==y]=x;
        fa[x]=z;
        int l=son[y][1]==x;
        fa[son[y][l]=son[x][!l]]=y;
        fa[son[x][!l]=y]=x;
    }
    void splay(int x)
    {
        for(Down(x);!isrt(x);rot(x))
        {
            int y=fa[x],z=fa[y];
            if(!isrt(y)) rot(((son[y][1]==x)^(son[z][1]==y))?x:y);
        }
    }
    void build()
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=siz[i],s2[i]=ai[i];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            int x=Fa[i],y=i;
            fa[y]=x;
            if(s[y]*2ll>s[x]) son[x][1]=y;
        }
    }
    int go(int x,int dir)
    {
        while(son[x][dir]) x=son[x][dir];
        return x;
    }
    void Access(int x,int c)
    {
        int tx=0;
        splay(x); if(son[x][1]) splay(tx=go(son[x][1],0));
        splay(x); if(son[x][1]) rot(son[x][1]);

        if(tx) up(mxs[x],s[tx]);
        ans-=min(s[x]-1,(s[x]-mxs[x])*2ll);
        s[x]+=c; s2[x]+=c; fl[x]+=c; up(mxs[x],s2[x]);

        splay(x);
        if(s[tx]*2ll<=s[x]) son[x][1]=0,up(mxs[x],s[tx]);
        ans+=min(s[x]-1,(s[x]-mxs[x])*2ll);

        while(x)
        {
            splay(x); splay(x=go(x,0));
            int y=fa[x],ty=0;
            if(!y) break;
            splay(y); if(son[y][1]) splay(ty=go(son[y][1],0));
            splay(y); if(son[y][1]) rot(son[y][1]);

            if(ty) up(mxs[y],s[ty]);
            ans-=min(s[y]-1,(s[y]-mxs[y])*2ll);
            s[y]+=c; fl[y]+=c; up(mxs[y],s[x]);

            splay(y);
            if(s[x]*2ll>s[y]) son[y][1]=x;
            else if(ty&&2*s[ty]<=s[y]) son[y][1]=0;
            ans+=min(s[y]-1,(s[y]-mxs[y])*2ll);

            x=y;
        }
    }
}LCT;

int main()
{
    read(n); read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(ai[i]);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y; read(x); read(y);
        ins(x,y); ins(y,x);
    }
    dfs(1); printf("%lld\n",ans);

    LCT.build();
    while(m--)
    {
        int x,w; read(x); read(w);
        LCT.Access(x,w); 
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}