BZOJ 1096 [ZJOI2007]倉庫建設

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題目描述 傳送門
L公司有N個工廠，由高到底分佈在一座山上。如圖所示，工廠1在山頂，工廠N在山腳。由於這座山處於高原內陸地區（乾燥少雨），L公司一般把產品直接堆放在露天，以節省費用。突然有一天，L公司的總裁L先生接到氣象部門的電話，被告知三天之後將有一場暴雨，於是L先生決定緊急在某些工廠建立一些倉庫以免產品被淋壞。由於地形的不同，在不同工廠建立倉庫的費用可能是不同的。第i個工廠目前已有成品Pi件，在第i個工廠位置建立倉庫的費用是Ci。對於沒有建立倉庫的工廠，其產品應被運往其他的倉庫進行儲藏，而由於L公司產品的對外銷售處設置在山腳的工廠N，故產品只能往山下運（即只能運往編號更大的工廠的倉庫），當然運送產品也是需要費用的，假設一件產品運送1個單位距離的費用是1。假設建立的倉庫容量都都是足夠大的，可以容下所有的產品。你將得到以下數據：1：工廠i距離工廠1的距離Xi（其中X1=0）;2：工廠i目前已有成品數量Pi;:3：在工廠i建立倉庫的費用Ci;請你幫助L公司尋找一個倉庫建設的方案，使得總的費用（建造費用+運輸費用）最小。

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設d(i) 爲搞定前i 個工廠，且第i 個工廠建了倉庫（顯然必須要），所需的最小費用

d(i)==min{ d(j)+∑k=j+1i(xi−xk)Pk | 0≤j<i }+cimin{ d(j)+xi∑k=j+1iPk−∑k=j+1ixkPk }+ci

如果預處理s(i)=∑ik=1Pk 和s2(i)=∑ik=1xkPk
那麼

d(i)==min{ d(j)+xi(s(i)−s(j))−(s2(i)−s2(j)) }+cimin{ d(j)+xis(i)−xis(j)−s2(i)+s2(j) }+ci

此時時間複雜度是O(n2)
設

kix1jbiyj====xis(j)d(i)−xis(i)+s2(i)−cid(j)+s2(j)

直線式kix1j+bi=yj 可以用斜率優化了。
ki 和x1j 是單增，用單調隊列維護下凸包。
時間複雜度降爲O(n) 。
代碼

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
long long s[maxn],x[maxn],s2[maxn],c[maxn],d[maxn],q[maxn];
double slope(int i,int j){
    return 1.0*((d[i]+s2[i]) -(d[j]+s2[j]) )/(s[i]-s[j]);
}
int main(){
    int n,b;
    cin>>n;
    s[0]=s2[0]=q[0]=d[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%d%lld",&x[i],&b,&c[i]);
        s[i]=s[i-1]+b;
        s2[i]=s2[i-1]+x[i]*b;
    }
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<x[i]) head++;
        d[i]=-(x[i]*s[q[head]]-(d[q[head]]+s2[q[head]]) -x[i]*s[i]+s2[i]-c[i]);
        while(head<tail&&slope(q[tail],q[tail-1])>=slope(q[tail],i)) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",d[n]);
    return 0;
}