P1440 求m區間內的最小值 題解

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簡要題意：

給定 $n$ 個數 $\{a_i\}$ 和一個 $m$，輸出所有 $1 \leq i \leq n$ 的 $\min_{\max(1, i-m+1)}^{i} a_i$.

$n,m \leq 2 \times 10^6$.

顯然這就是 對每個數求出其前 $m$ 個數的最小值。

樸素令 $f_i = \min_{\max(1, i-m+1)}^{i} a_i$，$\mathcal{O}(n^2)$ 炸的飛起。

當然你用線段樹，樹狀數組，$\text{RMQ}$ 來維護區間最小都是 $\mathcal{O}(n \log n)$ 的，不夠優，常數還不一定能過。

我們考慮如何從 $[l,r] \rightarrow [l+1,r+1]$ 即可。

用一個隊列 $q$，維護當前 可能會影響答案的編號。

什麼叫做 可能會影響答案？

比方說當前求的是編號 $i$ 的答案，那麼顯然，編號 $u<i-m+1$ 就應該出隊，因爲 所以包括 $i$ 在內之後的節點都不可能用到編號 $u$ 來作爲決策了。

其次，如果存在 $u$ 使得 $u < i , a_u > a_i$，這時候你會發現，$i$ 節點的價值比 $u$ 更高。因爲，$i$ 節點及以後的點用 $i$ 的次數比用 $u$ 的次數多，而 $i$ 的決策又始終比 $u$ 優，那麼 $u$ 就可以出隊了。

我們把當前區間的最小值編號始終放在第一位，以便取出。

時間複雜度： $\mathcal{O}(n)$.（每個點入隊一次，出隊一次）

實際得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e6+1;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int n,m,a[N],q[N];
int l=1,r=0;

int main() {
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		printf("%d\n",a[q[l]]);
		while(i-q[l]+1>m && l<=r) l++; //無效節點
		while(a[i]<a[q[r]] && l<=r) r--; //i 比當前節點更優
		q[++r]=i; //i 入隊作爲一個新的決策
	}
	return 0;
}