CF1374B Multiply by 2, divide by 6 題解

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簡要題意：

$T$ 組詢問，給定一個數 $n$，每次你可以將當前的數 $\times 2$ 或者 $\div 6$，問最少多少次操作可以將其變爲 $1$. 無法變爲 $1$ 則輸出 $-1$.

$T \leq 2 \times 10^4 , n \leq 10^9$.

首先我們考慮，什麼時候無解。

你會發現，對於一個數 $n$，我們 本質上的操作 只有 $\div3$ 和 $\div2$ 兩種。因爲，$\times 2 \div 6 = \div 3$，而 $\div 6 = \div 2 \div 3$.

所以你會發現一件非常重要的事情：

• 若 $n$ 不能表示成 $n = 2^x 3^y$ 的形式，那麼肯定無解。

因爲除 $2,3$ 以外的質因數無法被除掉了。

接下來，我們用 $\mathcal{O}(\log n)$ 的時間求出 $x$ 和 $y$.

但是你會發現，如果 $x>y$ 顯然是無解。如果無法理解可以繼續往下看。

假設我們進行 $m$ 次 $\times 2$ 操作，$n$ 次 $\div 6$ 操作後變成 $1$，則存在：

$\begin{cases} m = y - \min(x,y) \\ n = \max(x,y)\\ \end{cases}$

那麼，$m+n = y - \min(x,y) + \max(x,y)$，這就是答案。

但是你會發現一個問題，如果 $x > y$ 的話，此時 $\min(x,y) = y$，$m=0$？

顯然 $m=0$ 是不可能完成的。所以 $x \leq y$ 纔會有答案。

時間複雜度：$\mathcal{O}(T \log n)$.

實際得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int main() {
	int T=read(),n; while(T--) {
		n=read(); if(n==1) puts("0");
		else {
			int x=0,y=0;
			while(!(n&1)) x++,n>>=1;
			while(!(n%3)) y++,n/=3;
			if(n!=1 || x>y) puts("-1");
			else printf("%d\n",x+2*(y-x));
		}
	}
	return 0;
}