Codeforces 615D Multipliers(數學推公式)

escription

Ayrat has number n, represented as it's prime factorization p_i of size m, i.e. n = p₁·p₂·...·p_m. Ayrat got secret information that that the product of all divisors of n taken modulo 10⁹ + 7 is the password to the secret data base. Now he wants to calculate this value.

Input

The first line of the input contains a single integer m (1 ≤ m ≤ 200 000) — the number of primes in factorization of n.

The second line contains m primes numbers p_i (2 ≤ p_i ≤ 200 000).

Output

Print one integer — the product of all divisors of n modulo 10⁹ + 7.

Sample Input

Input

2
2 3

Output

36

Input

3
2 3 2

Output

1728

Hint

In the first sample n = 2·3 = 6. The divisors of 6 are 1, 2, 3 and 6, their product is equal to 1·2·3·6 = 36.

In the second sample 2·3·2 = 12. The divisors of 12 are 1, 2, 3, 4, 6 and 12. 1·2·3·4·6·12 = 1728.

題意：題目很清楚，給你n個質因數，求他們的積的所有因子之積(包括1和本身)。

(看到題目很懵圈~想着要是知道所有因子該有多好~(那還做個P的題目))。

思路：(我也是看題解的,簡單翻譯一下吧.)

題目已給n個質因數,這個條件好好哦,如果不是,那還得自己求質因數~.我們設n個質因數之積爲x,那麼x的因子個數必定是由這n個質因數兩兩乘或者是一個數本身.直接給出公式:x=p1^a1*p2^a2*p3^a3*.......*pn^an,

那麼設d(x)爲x的因子個數:d(x)=(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)*...*(an+1);

(這個公式可以這樣理解：有a1個p1，那麼可以選0個，1個，2個...a1個，所以有(a1+1)。)

x其中的一個因子m，那麼也就有x/m這個因子的存在。那麼就有d(x)/2對這樣的因子，

所以設f(x)爲最終答案，給出公式f(x)=x^(d(x)/2)。

那麼要是x是個完全平方數，d(x)不是個奇數嗎？怎麼辦？要多乘一個sqrt(x).?

其實並不用。

因爲x很大，d(x)/2也很大，我們並不能直接求取。

那麼就要拆開取模，怎麼拆啊？d(ab)=d(a)*d(b)，f(ab)=f(a)^d(b)*f(b)^d(a)。

所以對於一個x是完全平方數，就有公式f(p^k)=p^(k*(k+1)/2)，可以直接得到，所以不用多乘sqrt(x)(將fx公式帶入得)。

拆完x，那指數d(x)/2很大咋辦？那麼由費馬小定理得：，所以指數只能對(mod-1)取模。(因爲它處在指數位置，所以不能隨便對mod直接取模)。

 真不容易~

附上AC代碼：

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#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
long long quickpow(long long n,long long m)
{
    long long ans=1;
    while(m>0)
    {
        if(m&1)ans=ans*n%mod;
        m>>=1;
        n=n*n%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,a,Max;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        map<ll ,ll >p;
        map<ll ,ll >::iterator it;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d",&a);
            p[a]++;
        }
        long long d=1,ans=1,fp;
        for(it=p.begin(); it!=p.end(); it++)
        {
            fp=quickpow(it->first,(it->second+1)*it->second/2);
            ans=quickpow(ans,(it->second+1))*quickpow(fp,d)%mod;
            d=d*(it->second+1)%(mod-1);
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
}