BZOJ2005能量採集

2005: [Noi2010]能量採集
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Description
棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。 棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標(x, y)來表示，其中x的範圍是1至n，表示是在第x列，y的範圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，座標正好是(0, 0)。 能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器連接而成的線段上有k棵植物，則能量的損失爲2k + 1。例如，當能量彙集機器收集座標爲(2, 4)的植物時，由於連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量彙集機器連接的線段上沒有植物，則能量損失爲1。現在要計算總的能量損失。 下面給出了一個能量採集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標明瞭能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。 在這個例子中，總共產生了36的能量損失。
Input
僅包含一行，爲兩個整數n和m。
Output
僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。
Sample Input
【樣例輸入1】
5 4
【樣例輸入2】
3 4
Sample Output
【樣例輸出1】
36
【樣例輸出2】
20
【數據規模和約定】
對於10%的數據：1 ≤ n, m ≤ 10；
對於50%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100；
對於80%的數據：1 ≤ n, m ≤ 1000；
對於90%的數據：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
對於100%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
2D GCD sum
∑ni=1∑mj=1 gcd(i,j)
∑ni=1∑mj=1∑d|gcd(i,j)φ (d)
∑ni=1∑mj=1∑d|i,d|jφ (d)
∑d≤nφ (d)⌊nd⌋⌊md⌋
80分code：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
long long ans,n,m,d;

long long read()
{
    long long w=0,c=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9')
      {
        if (ch=='-') c=-1;
        ch=getchar();
      }
    while (ch>='0' && ch<='9')
      w=w*10+ch-'0',ch=getchar();
    return w*c;
}

long long phi(long long x)
{
    long long t=x,i;
    for (i=2;i<=m;i++)
      if (x%i==0)
        {
            t=t/i*(i-1);
            while (x%i==0) x/=i;
        }
    if (x>1) t=t/x*(x-1);
    return t;
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    if (n>m) swap(n,m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      ans+=(long long)phi(i)*(n/i)*(m/i);
    printf("%lld",ans*2-(long long)n*m);
    return 0;
}

⌊nd⌋⌊md⌋ 至多隻有n√ +m−−√ 個取值
對於值相同的一段連續計算
需要預處理歐拉函數的前綴和
複雜度：O（n）-O（n√ ）
100分code：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
long long ans,n,m,f[100001];

long long read()
{
    long long w=0,c=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9')
      {
        if (ch=='-') c=-1;
        ch=getchar();
      }
    while (ch>='0' && ch<='9')
      w=w*10+ch-'0',ch=getchar();
    return w*c;
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    if (n>m) swap(n,m);
    for (long long i=n;i;i--)
      {
        f[i]=(n/i)*(m/i);
        for (long long j=2*i;j<=n;j+=i)
          f[i]-=f[j];
        ans+=f[i]*(2*i-1);
      }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}