四元數定義與幾何意義

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四元數定義

先介紹代數的概念,域F上的一個矢量空間V叫做域F上的代數;如果除數乘、加法外還定義叉乘,如果V是F上的有限維空間,稱V爲F上的有限維代數;如果乘法滿足結合律,稱V爲結合代數;實數是一維結合代數,複數是二維結合代數,四元數是四維結合代數,都是可除代數;
  以i,j,k表示四元數的基元,四元數的一般形式爲A = w+xi+yj+zk；（w,x,y,z爲實數）基元i,j,k的運算規則爲：
      ij=k; ik=j; jk=i;
  i,j,k可代表沿x,y,z軸的單位矢量,四元數是標量w與矢量V=xi+yj+zk之和。

四元數的運算

兩個四元數的乘法按多項式乘法進行,可以把這樣的乘法稱爲直乘：
    AB=(w1+x1i+y1j+z1k)(w2+x2i+y2j+z2k)
     =w1w2-x1x2-y1y2-z1z2+(w1x2+x1w2+y1z2-z1y2)i………
    由此公式,可以得到矢量α,β的乘積爲（爲點乘）
       αβ = -αβ +α x β
    令A=w+a,B=x+β,有
      AB=（w+α）（x+β）
        =wx+wβ+xα-α*β+αxβ

四元數的幾何意義與三角表達式

矢量旋轉的四元數表述

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