【Python數據結構】二分查找、二叉樹（廣度優先、深度優先、二叉樹反推）

搜索和樹

二分法查找

二分查找又稱折半查找，優點是比較次數少，查找速度快，平均性能好；其缺點是要求待查表爲有序表，且插入刪除困難。因此，折半查找方法適用於不經常變動而查找頻繁的有序列表。首先，假設表中元素是按升序排列，將表中間位置記錄的關鍵字與查找關鍵字比較，如果兩者相等，則查找成功；否則利用中間位置記錄將表分成前、後兩個子表，如果中間位置記錄的關鍵字大於查找關鍵字，則進一步查找前一子表，否則進一步查找後一子表。重複以上過程，直到找到滿足條件的記錄，使查找成功，或直到子表不存在爲止，此時查找不成功。

二分法查找實現

遞歸實現

def binary_search(alist, item):
    if len(alist) == 0:
        return False
    else:
        midpoint = len(alist)//2
        if alist[midpoint]==item:
          return True
        else:
          if item<alist[midpoint]:
            return binary_search(alist[:midpoint],item)
          else:
            return binary_search(alist[midpoint+1:],item)

testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,]
print(binary_search(testlist, 3))
print(binary_search(testlist, 13))

非遞歸實現

def binary_search(alist, item):
      first = 0
      last = len(alist)-1
      while first<=last:
          midpoint = (first + last)/2
          if alist[midpoint] == item:
              return True
          elif item < alist[midpoint]:
              last = midpoint-1
          else:
              first = midpoint+1
    return False
testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,]
print(binary_search(testlist, 3))
print(binary_search(testlist, 13))

時間複雜度

• 最優時間複雜度：O(1)
• 最壞時間複雜度：O(logn)

二叉樹的基本概念

二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）

二叉樹的性質(特性)

性質1:在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點

性質2:深度爲k的二叉樹至多有2^k - 1個結點

性質3:對於任意一棵二叉樹，如果其葉結點數爲N0，而度數爲2的結點總數爲N2，則N0=N2+1;

性質4:具有n個結點的完全二叉樹的深度必爲 log2(n+1)

性質5:對完全二叉樹，若從上至下、從左至右編號，則編號爲i 的結點，其左孩子編號必爲2i，其右孩子編號必爲2i＋1；其雙親的編號必爲i/2（i＝1 時爲根,除外）

(1)完全二叉樹——若設二叉樹的高度爲h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第h層有葉子結點，並且葉子結點都是從左到右依次排布，這就是完全二叉樹。

(2)滿二叉樹——除了葉結點外每一個結點都有左右子葉且葉子結點都處在最底層的二叉樹。

二叉樹的節點表示以及樹的創建

通過使用Node類中定義三個屬性，分別爲elem本身的值，還有lchild左孩子和rchild右孩子

class Node(object):
    """節點類"""
    def __init__(self, elem=-1, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = elem
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild

樹的創建,創建一個樹的類，並給一個root根節點，一開始爲空，隨後添加節點

class Tree(object):
    """樹類"""
    def __init__(self, root=None):
        self.root = root

    def add(self, elem):
        """爲樹添加節點"""
        node = Node(elem)
        #如果樹是空的，則對根節點賦值
        if self.root == None:
            self.root = node
        else:
            queue = []
            queue.append(self.root)
            #對已有的節點進行層次遍歷
            while queue:
                #彈出隊列的第一個元素
                cur = queue.pop(0)
                if cur.lchild == None:
                    cur.lchild = node
                    return
                elif cur.rchild == None:
                    cur.rchild = node
                    return
                else:
                    #如果左右子樹都不爲空，加入隊列繼續判斷
                    queue.append(cur.lchild)
                    queue.append(cur.rchild)

深度優先遍歷

對於一顆二叉樹，深度優先搜索(Depth First Search)是沿着樹的深度遍歷樹的節點，儘可能深的搜索樹的分支。

那麼深度遍歷有重要的三種方法。這三種方式常被用於訪問樹的節點，它們之間的不同在於訪問每個節點的次序不同。這三種遍歷分別叫做先序遍歷（preorder），中序遍歷（inorder）和後序遍歷（postorder）。我們來給出它們的詳細定義，然後舉例看看它們的應用。

• 先序遍歷 在先序遍歷中，我們先訪問根節點，然後遞歸使用先序遍歷訪問左子樹，再遞歸使用先序遍歷訪問右子樹
  根節點->左子樹->右子樹
  def preorder(self, root):
  “”“遞歸實現先序遍歷”""
  if root == None:
  return
  print root.elem
  self.preorder(root.lchild)
  self.preorder(root.rchild)
• 中序遍歷 在中序遍歷中，我們遞歸使用中序遍歷訪問左子樹，然後訪問根節點，最後再遞歸使用中序遍歷訪問右子樹
  左子樹->根節點->右子樹
  def inorder(self, root):
  “”“遞歸實現中序遍歷”""
  if root == None:
  return
  self.inorder(root.lchild)
  print root.elem
  self.inorder(root.rchild)
• 後序遍歷 在後序遍歷中，我們先遞歸使用後序遍歷訪問左子樹和右子樹，最後訪問根節點
  左子樹->右子樹->根節點
  def postorder(self, root):
  “”“遞歸實現後續遍歷”""
  if root == None:
  return
  self.postorder(root.lchild)
  self.postorder(root.rchild)
  print root.elem
  

廣度優先遍歷(層次遍歷)

從樹的root開始，從上到下從從左到右遍歷整個樹的節點

—隊列—特點：一頭進一頭出，先進先出

def breadth_travel(self):
        """利用隊列實現樹的層次遍歷"""
        if root == None:
            return
        queue = []
        queue.append(root)
        while queue:
            node = queue.pop(0)
            print node.elem,
            if node.lchild != None:
                queue.append(node.lchild)
            if node.rchild != None:
                queue.append(node.rchild)

二叉樹反推(拓展)

1. 瞭解 二叉樹的反推

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二叉樹有三種深度優先遍歷方法：先序中序和後序，如果已知中序和先序，或已知中序和後序，可以確定二叉樹的結構。

例：

先序：0 1 3 7 8 4 9 2 5 6

中序：7 3 8 1 9 4 0 5 2 6

1、先序找根，中序定兩邊

先序的特點是第一個元素是根確定0是根節點，中序的特點是根兩側分別是左右子樹確定7 3 8 1 9 4 在0左邊，5 2 6在0右邊

所以我們反推分界初始圖：

2、左右分別重複1操作

所以左側子樹的根節點是1，右側子樹的根節點是2

3、不停的重複1操作

最終的二叉樹圖是：