CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums [動態規劃]

$Natasha,\ Sasha\ and\ the\ Prefix\ Sums$

題目描述見鏈接 .

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$\color{red}{正解部分}$

設 $F[i, j]$ 表示 $i$ 個 $1$, $j$ 個 $-1$ 的答案, 從後往前 放置數字進行 狀態轉移

• 放置 $1$: 對 $F[i, j]$ 產生 $F[i-1, j] + \begin{pmatrix} i-1+j \\ i-1 \end{pmatrix}$ 的貢獻 .

• 放置 $-1$: 對 $F[i, j]$ 產生 $F[i, j-1] - \left( \begin{pmatrix} i+j-1 \\ j-1 \end{pmatrix} - g[i, j-1]\right)$ 的貢獻 .

• 初值: $F[i, 0] = i$

其中 $g[i, j]$ 表示 $i$ 個 $1$, $j$ 個 $-1$ 所組成的序列 最大前綴和 爲 $0$ 的方案數, 先考慮特殊情況,

• $i > j$, $g[i, j] = 0$ .
• $g[0, 0] = 1$

再考慮 $i \le j$ 時, $g[i, j]$ 能更新哪些狀態,

• 填 $1$ 時, 若能更新 $g[i+1, j]$, 則說明 $i < j$ 且 $i \le j$, 所以轉移條件爲 $i < j$ .
• 填 $-1$ 時, 若能更新 $g[i, j+1]$, 則說明 $i \le j$ 且 $i \le j+1$, 所以轉移條件爲 $i \le j$ .

$\therefore i \le j$ 時, $g[i, j] = g[i-1, j] + g[i, j-1]$ .

因爲 $i-1 < j$, $g[i-1, j]$ 一定是由於取 $max$ 取到 $0$ 的,
而原本最大前綴和爲 $0$, 多放置一個 $-1$, 最大前綴和仍爲 $0$,
因此當 $i \le j$ 時, 放置 $1$ 和 放置 $-1$ 都可以轉移到 $g[i, j]$ .

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$\color{red}{實現部分}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 4005;
const int mod = 998244853;

int N;
int M;
int inv[maxn];
int fac[maxn];
int ifac[maxn];
int F[maxn][maxn];
int g[maxn][maxn];

int C(int n, int m){ return 1ll*fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod; }

int main(){
        scanf("%d%d", &N, &M);
        inv[1] = 1; for(reg int i = 2; i < maxn; i ++) inv[i] = ((-1ll*mod/i*inv[mod%i])%mod + mod) % mod;
        fac[0] = 1; for(reg int i = 1; i < maxn; i ++) fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%mod;
        ifac[0] = 1; for(reg int i = 1; i < maxn; i ++) ifac[i] = 1ll*ifac[i-1]*inv[i] % mod;
        g[0][0] = 1;
        for(reg int i = 0; i <= N; i ++)
                for(reg int j = i; j <= M; j ++){
                        if(i < j) g[i+1][j] = (g[i+1][j] + g[i][j]) % mod;
                        if(i <= j) g[i][j+1] = (g[i][j+1] + g[i][j]) % mod;
                } 
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) F[i][0] = i;
        for(reg int i = 0; i <= N; i ++)
                for(reg int j = 1; j <= M; j ++){
                        int add =  (F[i][j-1] - ((C(i-1+j, j-1)-g[i][j-1])%mod+mod)%mod + mod) % mod;
                        F[i][j] = (F[i][j] + add) % mod;
                        if(!i) continue ;
                        add = (F[i-1][j] + C(i-1+j, i-1)) % mod;
                        F[i][j] = (F[i][j] + add) % mod;
                }
        printf("%d\n", F[N][M]);
        return 0;
}