遞歸實現數組的全排列

一. 分析

設 R = {r1, r2, …, rn} 是要進行排列的 n 個元素，Ri = R - {ri}。Perm(X) 爲 X 的全排列。

1. 當 n = 1 時，Perm( R ) = ( { r } )，其中 r 是集合 R 中唯一的元素；
2. 當 n > 1 時，Perm( R ) = ( r1 )Perm( R1 ) + ( r2 )Perm( R2 ) + … + ( rn )Perm( Rn )。

即只要將每個元素與第一個元素交換（作爲“前綴”），剩下的不包括這個元素的子序列再將它的每一個元素與子序列的第一個元素交換，直到剩下的子序列中只有一個元素時，此時的數組排列就是全排列中的一種。

二. 例子

求解數組 { 1, 2, 3 } 的全排列，輸出結果：123、132、213、231、321、312

三. 代碼

/* 求解 {1, 2, 3 } 的全排列 */
#include <iostream>
using namespace std;

void swap(int &a,int &b) {
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}

void perm(int list[], int low, int high) {
    // 當low == high時，list 就是全排列中的一種，輸出 list
    if(low == high) {
        for(int i = 0; i <= low; i++) {
            cout << list[i];
        }
        cout << endl;
    }
    else {
        for(int i = low; i <= high; i++) { // 將每個元素與第一個元素交換
            swap(list[i], list[low]);
            perm(list, low + 1, high); // 交換後得到子序列，再求子序列的全排列
            swap(list[i], list[low]); // 將元素位置復原
        }
    }
}

int main() {
    int list[] = { 1, 2, 3 };
    perm(list, 0, 2);
    return 0;
}