介紹
給定 n 種物品和一個容量爲 C 的揹包，物品 i 的重量是 $w_i$，其價值爲 $v_i$
問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？
揹包問題是具有許多應用的組合優化問題
揹包問題
在揹包問題中，我們有一組物品。每個物品都有重量和價值：
我們想將這些物品放入揹包。但是，它有一個重量限制：
因此，我們需要選擇總重量不超過重量限制的物品，並且其總價值達到最高。 例如，上述示例的最佳解決方案是選擇5kg和6kg物品，它們在重量限制內的最大值爲40元。
揹包問題有幾種變化，我們將重點介紹0-1揹包問題。在0-1揹包問題中，必須選擇每個物品或將其留在後面。我們不能取一部分物品。另外，我們不能多次取一件物品。
數學公式
現在讓我們以數學符號形式化0-1揹包問題。給定一組n個物品和重量限制W，我們可以將優化問題定義爲：
**這個問題是NP完全難題
)。**因此，目前尚無多項式時間算法可以解決。但是，對於此問題，可以使用動態規劃算法思路來解決。
遞歸算法
使用遞歸公式來解決此問題：
在該公式中，$M_(n,w)$ 是重量限制爲w的n個物品的最優解。它是以下兩個值中的最大值：
重量限制爲w的（n-1）個物品的最優解（不包括第n個項目）
第n個物品的值加上（n-1）個物品的最優解和w減去第n個物品的權重（包括第n個物品）
如果第n項的重量大於當前的重量限制，則不包括在內。因此，它屬於上述兩種情況的第一類。
Java中實現此遞歸公式代碼：
在每個遞歸步驟中，我們需要評估兩次最優解決邏輯，因此，此遞歸解決方案的運行時間爲O（$2^n$）。
動態規劃算法
動態規劃思路是一種用於線性化，指數級遞增的編程算法的思路，這個思路是存儲子問題的結果，這樣我們以後就不必重新計算它們了。
我們還可以通過動態規劃解決0-1揹包問題。要使用動態規劃中，我們使用自下而上的方法來計算最佳解決方案：
/**
* @param w : 已知物品重量數組集合
* @param v : 已知物品價值數組集合
* @param n ： 最大價值，0 表示不要求
* @param W : 最大重量，0 表示不要求
* @author 油膩的Java
* @date 2019/11/5
* @return
*/
public int knapsackDP(int[] w, int[] v, int n, int W) {
if (n <= 0 || W <= 0) {
return 0;
}
/**
* 創建臨時數組
*/
int[][] m = new int[n + 1][W + 1];
for (int j = 0; j <= W; j++) {
m[0][j] = 0;
}
/**
* 遍歷n和W,
*/
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
if (w[i - 1] > j) {
//對m數組進行賦值
m[i][j] = m[i - 1][j];
} else {
//求最大值
m[i][j] = Math.max(m[i - 1][j], m[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
}
}
}
return m[n][W];
}在代碼中，我們在商品價值n和重量限制W上有一個嵌套循環。因此，它的運行時間爲O（nW）。
單元測試
最後針對各自的場景做了一下單元測試
同時滿足價格，重量最大化
最大重量最優解
最大價格最優解
結論
本文通過編寫遞歸算法、動態規劃算法來解決揹包0-1問題，以及測試相應的單元測試，希望在揹包算法對你有新的認知。