rt。用\(\LaTeX\)整理了公式。
之前那篇很混亂而且咕咕咕到現在的隨筆：st表、樹狀數組與線段樹 筆記與思路整理
一、構成方式
樹狀數組是一種樹狀的結構（廢話），但是只需要 $ O(n)$ 的空間複雜度。區間查詢和單一修改時間複雜度都爲 \(O(log\ n)\) ，利用差分區間修改也可以達到 \(O(log\ n)\) ，但此時不能區間查詢。通過維護兩個數組可以達到 \(O(log\ n)\) 的區間修改與查詢。
樹狀數組是基於一棵二叉樹，爲便於思想上向數組轉化，這裏稍微變形：（Excel繪圖23333）
如果要在一棵樹上存儲一個數組並且便於求和，我們可以想到讓每個父節點存儲其兩個子節點的和。（就決定是你啦！線段樹！）
爲了達到 \(O(n)\) 的空間複雜度，刪去一些節點（放棄線段樹）後如下：
標有序號的節點爲樹狀數組，序號從左向右增大。
二、運算規律
觀察上一節的圖可得，每個樹狀數組的節點都儲存了\(2^k\)個原數組節點的數據（\(k\)爲節點深度）。也就是說，在上面的圖中：
t[1] = a[1];
t[2] = a[1] + a[2];
t[3] = a[3];
t[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];
t[5] = a[5];
t[6] = a[5] + a[6];
t[7] = a[7];
t[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];所以說，這棵樹的（不是我自己推出來的）規律是：
\[t[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i]\]
//\(k\)爲\(i\)的二進制中從最低位到高位連續零的長度
將\(2^k\)稱爲\(lowbit(i)\)，則代碼如下：
void add(int pos, int val){ //將節點pos增加val
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t[i] += val;
}
}
int ask(int pos){ //求節點pos前綴和
int ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += t[i];
}
return ans;
}
int query_sum(int l, int r){ //利用前綴和求[l, r]總和
return ask(r) - ask(l);
}那麼問題來了，怎麼求這個 \(2^k\) 呢？
有一個巧妙的（我自己也沒推出來的）算法是：
\[lowbit(x) = x \& (-x)\]
抄一段證明如下：
這裏利用的負數的存儲特性，負數是以補碼存儲的，對於整數運算 \(x\&(-x)\)有
● 當\(x\)爲\(0\)時，即 \(0 \& 0\)，結果爲\(0\)；//因此實際運算的時候如果真的出現了\(lowbit(0)\)會卡死，要從\(1\)開始存儲
●當\(x\)爲奇數時，最後一個比特位爲\(1\)，取反加\(1\)沒有進位，故\(x\)和\(-x\)除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果爲\(0\)。結果爲\(1\)。
●當\(x\)爲偶數，且爲\(2^m\)時，\(x\)的二進制表示中只有一位是\(1\)（從右往左的第\(m+1\)位），其右邊有\(m\)位\(0\)，故\(x\)取反加\(1\)後，從右到左第有\(m\)個\(0\)，第\(m+1\)位及其左邊全是\(1\)。這樣，\(x\& (-x)\) 得到的就是\(x\)。
●當\(x\)爲偶數，卻不爲\(2^m\)的形式時，可以寫作\(x= y \times (2^k)\) 。其中，\(y\)的最低位爲\(1\)。實際上就是把\(x\)用一個奇數左移\(k\)位來表示。這時，\(x\)的二進制表示最右邊有\(k\)個\(0\)，從右往左第\(k+1\)位爲\(1\)。當對x取反時，最右邊的\(k\)位\(0\)變成\(1\)，第\(k+1\)位變爲\(0\)；再加\(1\)，最右邊的\(k\)位就又變成了\(0\)，第\(k+1\)位因爲進位的關係變成了\(1\)。左邊的位因爲沒有進位，正好和\(x\)原來對應的位上的值相反。二者按位與，得到：第\(k+1\)位上爲\(1\)，左邊右邊都爲\(0\)。結果爲\(2^k\)。
總結一下：\(x\&(-x)\)，當\(x\)爲\(0\)時結果爲\(0\)；\(x\)爲奇數時，結果爲\(1\)；\(x\)爲偶數時，結果爲\(x\)中\(2\)的最大次方的因子。
三、具體操作
1.區間查詢單點修改
如上文所說，使用循環維護一條樹上路徑即可。
模板題： 洛谷 P3374
查看源碼
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int a[500010], t[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add(int pos, int val){
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t[i] += val;
}
}
int query_node(int pos){
int ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += t[i];
}
return ans;
}
int query_range(int l, int r){
return query_node(r) - query_node(l-1);
}
int main(){
cin >> n >> m;
int opt, pos, l, r, num;
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", &a[i]);
add_node(i, a[i]);
}
while(m--){
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1){
scanf("%d%d", &pos, &num);
add_node(pos, num);
}
if(opt == 2){
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", query_range(l, r));
}
}
return 0;
}2.單點查詢區間修改
利用差分的思想，設數組\(b[i]=a[i]-a[i-1]\)，用樹狀數組\(t[~]\)表示\(b[~]\)。(這裏默認\(a[0]=b[0]=0\))
來一組樣例：
\(a[~]=\{1,~5,~4,~2,~3,~1,~2,~5\}\)
\(b[\ ] = \{ 1,\ 4,\ -1,\ -2,\ 1,\ -2,\ 1,\ 3\}\)
處理區間\([1,\ 5]\)，將其中所有元素+1：
\(a[~]=\{1,~{\color{red}{6,~5,~3,~4,~2,}}~2,~5\}\)
\(b[\ ] = \{ 1,\ {\color{red}5,}\ -1,\ -2,\ 1,\ -2,\ {\color{red}0,}\ 3 \}\)
可以看到，只有 \(b[1]\) 和 \(b[6]\) 發生了變化。（即更改區間\([l, r]\)時的節點\(l\)與節點\(r+1\)）因此，以 \(b[\ ]\) 爲原數組的 \(t[\ ]\) 只需要執行兩次 \(add()\) 即可。但是，在查詢 \(a[i]\) 的時候就需要查詢 \(b[1...i]\) 之和，在 \(log\ n\) 時間裏只能查詢單個節點的值。
模板題：洛谷 P3368
查看源碼
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int a[500010], t[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add_node(int pos, int val){
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t[i] += val;
}
}
void add_range(int l, int r, int val){
add_node(l, val);
add_node(r+1, -val);
}
int query_node(int pos){
int ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += t[i];
}
return ans;
}
int main(){
cin >> n >> m;
int opt, pos, l, r, num;
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", &a[i]);
add_node(i, a[i] - a[i-1]);
}
while(m--){
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1){
scanf("%d%d%d", &l, &r, &num);
add_range(l, r, num);
}
if(opt == 2){
scanf("%d", &pos);
printf("%d\n", query_node(pos));
}
}
return 0;
}3.區間查詢區間修改
關於區間查詢與區間修改的操作，考慮維護兩個樹狀數組來優化差分：
（本段參考了xenny的博客）
\(\sum_{i=1}^{n}a[i] =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^it[j]\)
則
\[
\begin{align*}& a[1] + a[2] + ... + a[n]\\ = ~&(t[1]) + (t[1] + t[2]) + ... + (t[1] + t[2] + ... + t[n]) \\ = ~&n * t[1] + (n-1) * t[2] + ... + t[n]\\ =~& n * (t[1] + t[2] + ... + t[n]) - (0 * t[1] + 1 * t[2] + ... + (n - 1) * t[n])\end{align*}
\]
所以上式可以變爲\(∑^n_{i = 1}a[i] = n∑^n_{i = 1}t[i] - ∑^n_{i = 1}( t[i] * (i - 1) )\)
因此，實現了區間查詢與區間修改之後可以實現線段樹的某些功能。但這種實現方式與線段樹還有所差異，詳情見下一節“優勢與侷限”。
模板題：洛谷 P3372 （線段樹模板1）
查看源碼
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[500010], t1[500010], t2[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add_node(int pos, ll val){
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t1[i] += val;
t2[i] += val * (pos-1);
}
}
void add_range(int l, int r, int val){
add_node(l, val);
add_node(r+1, -val);
}
ll quary_node(int pos){
ll ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += pos * t1[i] - t2[i];
}
return ans;
}
ll quary_range(int l, int r){
return quary_node(r) - quary_node(l-1);
}
int main(){
cin >> n >> m;
int opt, pos, l, r;
ll num;
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", &a[i]);
add_node(i, a[i] - a[i-1]);
}
while(m--){
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1){
scanf("%d%d%lld", &l, &r, &num);
add_range(l, r, num);
}
if(opt == 2){
scanf("%d %d", &l, &r);
printf("%lld\n", quary_range(l, r));
}
}
return 0;
}四、優勢與侷限
很顯然，在相同的實現下（區間查詢、區間修改），樹狀數組的碼量要小於線段樹等，運行時的常數與佔用空間也較小。
但實際上，樹狀數組只能維護前綴操作和（前綴和，前綴積，前綴最大最小），而線段樹可以維護區間操作和。
使用樹狀數組來“維護區間操作和”的實現，本質上是取右端點的前綴和，然後對左端點左邊的前綴和的逆元做一次操作。因此，如果不存在逆元的操作（乘法（P.s.:模不爲質數）、區間最值等）就無法用樹狀數組完成。