洛谷 P4568 [JLOI2011]飛行路線 - 分層圖最短路

洛谷 P4568 [JLOI2011]飛行路線

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算法標籤: 圖論，最短路

題目

題目描述

Alice和Bob現在要乘飛機旅行，他們選擇了一家相對便宜的航空公司。該航空公司一共在n個城市設有業務，設這些城市分別標記爲0到n-1，一共有m種航線，每種航線連接兩個城市，並且航線有一定的價格。

Alice和Bob現在要從一個城市沿着航線到達另一個城市，途中可以進行轉機。航空公司對他們這次旅行也推出優惠，他們可以免費在最多k種航線上搭乘飛機。那麼Alice和Bob這次出行最少花費多少？

輸入格式

數據的第一行有三個整數，n,m,k，分別表示城市數，航線數和免費乘坐次數。
第二行有兩個整數，s,t，分別表示他們出行的起點城市編號和終點城市編號。
接下來有m行，每行三個整數，a,b,c，表示存在一種航線，能從城市a到達城市b，或從城市b到達城市a，價格爲c。

輸出格式

只有一行，包含一個整數，爲最少花費。

輸入輸出樣例

輸入 #1

5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100

輸出 #1

8

說明/提示

對於30%的數據,\(2 \le n \le 50,1 \le m \le 300,k=0;\)
對於50%的數據,\(2 \le n \le 600,1 \le m \le 6000,0 \le k \le 1;\)
對於100%的數據,\(2 \le n \le 10000,1 \le m \le 50000,0 \le k \le 10,0 \le s,t<n,0 \le a,b<n,a\neq b,0 \le c \le 1000\)

題解：

分層圖最短路

思路就是建一個\(K\)層的圖（平面內開k倍），之後按照加邊規則把每條邊在k層平面內都加好，之後同樣的兩個點在相鄰層中建一條邊權爲\(0\)的邊，這樣構成了所給的\(K\)條免費的路徑。

分層圖加邊代碼（鏈式前向星）：

for (int i = 1; i <= m; i ++ )
{
    int x, y, z;
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
    add(x ,y, z);
    add(y, x, z);
    for (int j = 1; j <= k; j ++ )
    {
        add(x + (j - 1) * n, y + j * n, 0);
        add(y + (j - 1) * n, x + j * n, 0);
        add(x + j * n, y + j * n, z);
        add(y + j * n, x + j * n, z);
    }
}

不過這道題有大坑！！！

首先的確給了我們K個免費機會，但是我們不確定最優解是否一定用光了這K次機會（例如說最優解邊數<K），那麼我們需要加一個循環搜索最小值的過程。

其次是在這道題中的數據，數組要開……估算40倍！！！首先因爲是分層圖，並且每一條邊都是雙相邊，這裏數組一定要夠大！！！！！（本蒟蒻在這裏被瘋狂卡）

AC代碼

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 4e5 + 10;

const int M = 3e6 + 10;

int n, m, k, s, t, vis[N], dis[N];

int tot, to[M], val[M], nex[M], head[N];

void add(int x, int y, int z)
{
    to[ ++ tot] = y;
    val[tot] = z;
    nex[tot] = head[x];
    head[x] = tot;
}

priority_queue < pair<int, int> > q;

void dijkstra(int s)
{
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);

    dis[s] = 0;
    q.push(make_pair(0, s));
    while (!q.empty())
    {
        int x = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[x])
            continue ;
        vis[x] = 1;
        for (int i = head[x]; i; i = nex[i])
        {
            if (dis[to[i]] > dis[x] + val[i])
            {
                dis[to[i]] = dis[x] + val[i];
                q.push(make_pair(-dis[to[i]], to[i]));
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    scanf("%d%d", &s, &t);
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
    {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        add(x ,y, z);
        add(y, x, z);
        for (int j = 1; j <= k; j ++ )
        {
            add(x + (j - 1) * n, y + j * n, 0);
            add(y + (j - 1) * n, x + j * n, 0);
            add(x + j * n, y + j * n, z);
            add(y + j * n, x + j * n, z);
        }
    }
    dijkstra(s);
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for (int i = 0; i <= k; i ++ )
    {
        ans = min(ans, dis[t + i * n]);
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}