偏微分方程 - 基本概念

基本概念

  一本書的學習筆記 陸金甫&關治, 偏微分方程數值解, 第3版

幾個典型方程

Laplace算子
$\Delta= \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$
記
$\nabla= \bm{e}_1\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \bm{e}_2\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \bm{e}_n\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$
其中$\bm{e}_i$是$\mathbb{R}^n$中座標軸正向的單位向量, 有$\Delta = \nabla \cdot \nabla$.

1. Laplace方程
$\Delta u = 0$
其中$u=u(x)$稱爲調和函數.

2. Cauchy-Riemann方程組
調和函數$u(x, y)$存在共軛調和函數$v(x, y)$, 它們滿足方程組:
$\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} \right.$

3. Poisson方程
$-\Delta u = f(x)$
其中$u=u(x)$.

4. 波動方程
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\Delta u + F(x, t)$
其中$u=u(x, t)$

5. 擴散方程&傳熱方程
$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x_1}\lgroup k_1 \frac{\partial u}{\partial x_1}\rgroup + \cdots + \frac{\partial}{\partial x_n}\lgroup k_n \frac{\partial u}{\partial x_n}\rgroup + F(x, t)$
其中$u=u(x, t)$是擴散過程中某物質的濃度或溫度, 係數$k_i=k_i(x)>0$稱爲擴散係數或熱傳導係數.

  波動方程4和擴散方程&傳導方程5中, 如果$F=F(x)$, $u$與時間無關, 則方程轉化爲Poisson方程3的形式, 與時間無關的情形稱爲定常情形.

  上述方程2爲一階方程組, 其它方程均爲二階.

6. 對流擴散方程 在n=2的情形
$\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} = k\Delta u + F$
爲水平面上的對流擴散方程, 其中$u=u(x, y, t)$表示流場中的某種物質的濃度, $a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y}$稱對流項, 其中$(a, b)$是流速, $k\Delta u$爲擴散項, $k > 0$是擴散係數. .

7. 對流方程 如果對流擴散方程6中沒有擴散項(即$k=0$), 方程爲對流方程, $n=1$時的對流方程爲
$\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x}=F$
其中$u=u(x, t)$, $F=F(x, t)$.

8. 重調和方程
$\Delta^2 u=0$
其中$u=u(x)$$, 在$n=2$時, $u=u(x, y)$, 且
$\Delta^2 = \lgroup \frac{\partial ^2}{\partial x ^2 } + \frac{\partial ^2}{\partial y ^2 } \rgroup ^2 = \frac{\partial ^4}{\partial x ^4 } + 2\frac{\partial ^4}{\partial x ^2\partial y ^ 2 } + \frac{\partial ^4}{\partial y ^4 }$
它是一個4階方程, 也稱雙調和方程…

  上述方程對於未知函數$u, v$及其各階導數都是線性的, 下列爲非線性方程.

9. 二維定常, 絕熱, 無旋及等熵流 速度勢$\phi=\phi(x, y)$滿足方程
$(1-c^{-2}\phi_x^2)\phi_{xx} = 2c^{-2}\phi_x\phi_y\phi_{xy} + (1-c^{-2})\phi_{yy}=0$,
其中$(\phi_x, \phi_y)$是速度向量, 其模$q = \sqrt {\phi_x^2 + \phi_y^2}$, $c$是$q$的函數, 例如, 對某種滿足狀態方程
$p = A\rho^T$
的氣體, 有
$c^2 = 1 - \frac{\gamma-1}{2}q^2$
其中$\rho$是密度, $p$是壓力.

10. Navier-Stokes方程組 描述三維不可壓縮流動的方程組
$\left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial u_i}{t} + \sum_{k=1}^{3} \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + v\Delta u_i \qquad i=1, 2, 3\\ &\sum_{k=1}^{3}\frac{\partial u_k}{\partial x_k} = 0, \end{aligned} \right.$
其中, $u = (u_1, u_2, u_3)$爲速度, $p$爲壓力, $\rho$爲密度, 都與$x, t$有關, $v$爲黏滯係數.

定解問題

  $n$階常微分方程通常可以寫成依賴於$n$個任意常數的通解形式, 但對於偏微分方程, 一般很難給出通解形式, 一般都是在特定條件下求方程的解, 這樣的條件稱爲定解條件. 常見的定解條件有:

• 邊界條件: 在給定區域$\Omega$的邊界$\partial \Omega$上給出的條件
• 初始條件: 在包含時間變量$t$的問題中, 在超平面$t=t_0$給出的條件
• …

給定了方恆和定解條件, 就構成了一個定解問題. 常見的有

• 邊值問題, 即給定邊界條件的定解問題
• 初邊值問題, 即給定初始條件和邊界條件的定解問題
• …

解的性質:

• 存在性
• 唯一性
• 穩定性: 對於定解條件的原始資料(或自由項$F$)有微小變化時, 在某種意義下, 解也僅有微小的變化
• 適應性: 存在性+唯一性+穩定性

二階方程

二階擬線性方程

• 橢圓型方程
• 拋物型方程
• 超雙曲型

兩個自變量的二階擬線性方程

特徵曲線, 特徵方程, 特徵方向

• 第一類邊界條件(Dirchlet邊界條件)
• 第二類邊界條件(Neumann邊界條件)
• 第三類邊界條件

線性方程

一階方程組

一階擬線性方程組

線性方程組

橢圓型的

雙曲型的

特徵曲線, 特徵方程