平衡樹學習小結

最近系統的學習了學習平衡樹（splay），現做如下總結。

何爲平衡樹

簡而言之，平衡樹是一種二叉樹。
何爲平衡呢？平衡樹的“平衡”是由於他的深度較爲平衡，一般穩定在log級別。

平衡樹的優勢

平衡樹因其“平衡”而保證了時間複雜度，減少了被卡的概率。

平衡樹的基本操作

1.旋轉(rotate(x)):將x旋轉到他的父親的位置。

我們如何操作呢？
利用一個性質：平衡樹因爲中序遍歷是有序的，所以他的左子樹的所有元素都比他小，右子樹都比他大。
設旋轉的點爲x，他的父親爲y，父親的父親爲z，son(a)表示a是他父親的左兒子還是右兒子。
此處分情況討論。y的左右兒子關係決定了x和z的大小關係。
因爲我們要保證平衡樹的平衡，所以若y是z的右兒子，那麼x必定比z大，所以我們把x接在z的右兒子處，若y是z的左兒子反之。
繼續討論y與x的大小關係：顯而易見與“x與y的大小關係”相反，把y接在x後即可。

void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],b=son(x),c=son(y);
    ch[z][c]=x,fa[x]=z;
    if (ch[x][!b]) fa[ch[x][!b]]=y;
    ch[y][b]=ch[x][!b],ch[x][!b]=y,fa[y]=x;
} 

2.Splay(splay(x,p)):將x旋轉到p的兒子的位置。

這個操作是依靠rotate實現的。
分三種情況討論：
1.x和p是爺爺與兒子的關係，即只旋轉一次就可以到達位置：rotate(x)
2.son(x)和son(fa[x])不同：兩次rotate(x)
3.son(x)和son(fa[x])相同：rotate(fa[x]),rotate(x)
畫個圖就可以知道爲什麼。

void splay(int x,int p)
{
    while (fa[x]!=p)
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if (z==p)
            rotate(x);
        else
            if (son(x)!=son(y))
                rotate(x),rotate(x);
            else
                rotate(y),rotate(x);
    }
    if (!fa[x]) root=x;
}

3.查找前驅(find_qq(x))、後繼(find_hj(x)):查找一個最大的小於（小於等於）x的數、最小的大於（大於等於）x的數。

利用二叉查找樹的性質中序遍歷有序，我們每次比較當前節點和待查詢值的大小關係，決定下一步是往左子樹走還是往右子樹走。

int find_qq(int x)
{
    ll now=root,ans=0;
    while (now)
        if (val[now]<=x)
            ans=now,now=ch[now][1];
        else
            now=ch[now][0];
    return ans;
}
int find_hj(int x)
{
    ll now=root,ans=0;
    while (now)
        if (val[now]>x)
            ans=now,now=ch[now][0];
        else
            now=ch[now][1];
    return ans;
} 

4.插入(insert(x)):插入一個數到平衡樹中。

找到x的前驅和後繼，將前驅旋轉到根（splay(qq,0)），後繼旋轉到根的右兒子（splay(hj,qq)），可以看出後繼的左兒子一定是空的，因爲後繼的左兒子小於他並且大於前驅很明顯是不存在的。故將新元素插入到後繼的左兒子處。

void insert(int x)
{
    int qq=find_qq(x);
    int hj=find_hj(x);
    splay(qq,0);
    splay(hj,qq);
    ch[hj][0]=++cnt;
    fa[cnt]=hj;
    val[cnt]=x;
}

5.刪除(del(x)):刪除平衡樹中已有的元素x。

找到x的前驅，將其旋轉到根的位置，再找到x的後繼，旋轉到根的右兒子的位置，則根的右兒子的左兒子爲需刪除的元素，清空根的右兒子的左指針即可。

void del(int x)
{
    int qq=find_qq(x-1);
    int hj=find_hj(x);
    splay(qq,0);
    splay(hj,qq);
    ch[hj][0]=0;
}

平衡樹的應用

查詢元素的前驅後繼，查詢元素排名，查詢排名爲k的元素，插入/刪除元素等。