神經網絡從原理到實現

1.簡單介紹

在機器學習和認知科學領域，人工神經網絡（artificial neural network，縮寫ANN），簡稱神經網絡（neural network，縮寫NN）或類神經網絡，是一種模仿生物神經網絡(動物的中樞神經系統，特別是大腦)的結構和功能的數學模型或計算模型，用於對函數進行估計或近似。神經網絡由大量的人工神經元聯結進行計算。大多數情況下人工神經網絡能在外界信息的基礎上改變內部結構，是一種自適應系統。現代神經網絡是一種非線性統計性數據建模工具。典型的神經網絡具有以下三個部分：

結構（Architecture） 結構指定了網絡中的變量和它們的拓撲關係。例如，神經網絡中的變量可以是神經元連接的權重（weights）和神經元的激勵值（activities of the neurons）。
激勵函數（Activity Rule） 大部分神經網絡模型具有一個短時間尺度的動力學規則，來定義神經元如何根據其他神經元的活動來改變自己的激勵值。一般激勵函數依賴於網絡中的權重（即該網絡的參數）。
學習規則（Learning Rule）學習規則指定了網絡中的權重如何隨着時間推進而調整。這一般被看做是一種長時間尺度的動力學規則。一般情況下，學習規則依賴於神經元的激勵值。它也可能依賴於監督者提供的目標值和當前權重的值。

2.初識神經網絡

如上文所說，神經網絡主要包括三個部分：結構、激勵函數、學習規則。圖1是一個三層的神經網絡，輸入層有d個節點，隱層有q個節點，輸出層有l個節點。除了輸入層，每一層的節點都包含一個非線性變換。

圖1

那麼爲什麼要進行非線性變換呢？

（1）如果只進行線性變換，那麼即使是多層的神經網絡，依然只有一層的效果。類似於0.6*(0.2x1+0.3x2)=0.12x1+0.18x2。
（2）進行非線性變化，可以使得神經網絡可以擬合任意一個函數,圖2是一個四層網絡的圖。

圖2

下面使用數學公式描述每一個神經元工作的方式

（1）輸出x
（2）計算z=w*x
（3）輸出new_x = f(z)，這裏的f是一個函數，可以是sigmoid、tanh、relu等，f就是上文所說到的激勵函數。

3.反向傳播(bp)算法

有了上面的網絡結構和激勵函數之後，這個網絡是如何學習參數（學習規則）的呢？

首先我們先定義下本文使用的激活函數、目標函數

（1）激活函數（sigmoid）：

def sigmoid(z):
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

sigmoid函數有一個十分重要的性質：，即計算導數十分方便。

def sigmoid_prime(z):
    return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))

下面給出一個簡單的證明：

（2）目標函數（差的平方和），公式中的1/2是爲了計算導數方便。

然後，這個網絡是如何運作的

（1）數據從輸入層到輸出層，經過各種非線性變換的過程即前向傳播。

def feedforward(self, a):
    for b, w in zip(self.biases, self.weights):
        a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)
    return a

其中，初始的權重（w）和偏置（b）是隨機賦值的

biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
weights = [np.random.randn(y, x) for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

（2）參數更新，即反向傳播

在寫代碼之前，先進行推導，即利用梯度下降更新參數，以上面的網絡結構（圖1）爲例

（1）輸出層與隱層之間的參數更新

（2）隱層與輸入層之間的參數更新

有兩點需要強調下：

（2）中的結果比（1）中的結果多了一個求和公式，這是因爲計算隱層與輸入層之間的參數時，輸出層與隱層的每一個節點都有影響。
（2）中參數更新的結果可以複用（1）中的參數更新結果，從某種程度上，與反向傳播這個算法名稱不謀而合，不得不驚歎。

def backprop(self, x, y):
    """返回一個元組(nabla_b, nabla_w)代表目標函數的梯度."""
    nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
    nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
    # feedforward
    activation = x
    activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer
    zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer
    for b, w in zip(self.biases, self.weights):
        z = np.dot(w, activation)+b
        zs.append(z)
        activation = sigmoid(z)
        activations.append(activation)
    # backward pass
    delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
        sigmoid_prime(zs[-1])
    nabla_b[-1] = delta
    nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
    """l = 1 表示最後一層神經元，l = 2 是倒數第二層神經元, 依此類推."""
    for l in xrange(2, self.num_layers):
        z = zs[-l]
        sp = sigmoid_prime(z)
        delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
        nabla_b[-l] = delta
        nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
    return (nabla_b, nabla_w)

4.完整代碼實現

# -*- coding: utf-8 -*-

import random
import numpy as np

class Network(object):

    def __init__(self, sizes):
    """參數sizes表示每一層神經元的個數，如[2,3,1],表示第一層有2個神經元，第二層有3個神經元，第三層有1個神經元."""
        self.num_layers = len(sizes)
        self.sizes = sizes
        self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
        self.weights = [np.random.randn(y, x)
                        for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

    def feedforward(self, a):
        """前向傳播"""
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)
        return a

    def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,
            test_data=None):
        """隨機梯度下降"""
        if test_data: 
            n_test = len(test_data)
        n = len(training_data)
        for j in xrange(epochs):
            random.shuffle(training_data)
            mini_batches = [
                training_data[k:k+mini_batch_size]
                for k in xrange(0, n, mini_batch_size)]
            for mini_batch in mini_batches:
                self.update_mini_batch(mini_batch, eta)
            if test_data:
                print "Epoch {0}: {1} / {2}".format(j, self.evaluate(test_data), n_test)
            else:
                print "Epoch {0} complete".format(j)

    def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
        """使用後向傳播算法進行參數更新.mini_batch是一個元組(x, y)的列表、eta是學習速率"""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        for x, y in mini_batch:
            delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
            nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
            nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]
        self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw
                        for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
        self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb
                       for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

    def backprop(self, x, y):
        """返回一個元組(nabla_b, nabla_w)代表目標函數的梯度."""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        # 前向傳播
        activation = x
        activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer
        zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            z = np.dot(w, activation)+b
            zs.append(z)
            activation = sigmoid(z)
            activations.append(activation)
        # backward pass
        delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * sigmoid_prime(zs[-1])
        nabla_b[-1] = delta
        nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
        """l = 1 表示最後一層神經元，l = 2 是倒數第二層神經元, 依此類推."""
        for l in xrange(2, self.num_layers):
            z = zs[-l]
            sp = sigmoid_prime(z)
            delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
            nabla_b[-l] = delta
            nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
        return (nabla_b, nabla_w)

    def evaluate(self, test_data):
        """返回分類正確的個數"""
        test_results = [(np.argmax(self.feedforward(x)), y) for (x, y) in test_data]
        return sum(int(x == y) for (x, y) in test_results)

    def cost_derivative(self, output_activations, y):
        return (output_activations-y)

def sigmoid(z):
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

def sigmoid_prime(z):
    """sigmoid函數的導數"""
    return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))

5.簡單應用

# -*- coding: utf-8 -*-

from network import *

def vectorized_result(j,nclass):
    """離散數據進行one-hot"""
    e = np.zeros((nclass, 1))
    e[j] = 1.0
    return e

def get_format_data(X,y,isTest):
    ndim = X.shape[1]
    nclass = len(np.unique(y))
    inputs = [np.reshape(x, (ndim, 1)) for x in X]
    if not isTest:
        results = [vectorized_result(y,nclass) for y in y]
    else:
        results = y
    data = zip(inputs, results)
    return data

#隨機生成數據
from sklearn.datasets import *
np.random.seed(0)
X, y = make_moons(200, noise=0.20)
ndim = X.shape[1]
nclass = len(np.unique(y))

#劃分訓練、測試集
from sklearn.cross_validation import train_test_split
train_x,test_x,train_y,test_y = train_test_split(X,y,test_size=0.2,random_state=0)

training_data = get_format_data(train_x,train_y,False)
test_data = get_format_data(test_x,test_y,True)

net = Network(sizes=[ndim,10,nclass])
net.SGD(training_data=training_data,epochs=5,mini_batch_size=10,eta=0.1,test_data=test_data)

參考文獻
（1）周志華《機器學習》
（2）https://github.com/mnielsen/neural-networks-and-deep-learning
（3）https://zhuanlan.zhihu.com/p/21525237

雪倫_

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