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1975年，John M. Pollard提出了第二種因數分解的方法。Pollard rho因數分解方法基於下列幾點：
(1) 假定有兩個整數
和
使得p可以整除
-
，但是n不能整除
。
(2) 可以證明
。因爲p可以整除- ，可以寫成
。但是，因爲n不能整除-，很明顯q不能整除n。這就表明
既可以是1也可以是n的一個因數。
下列算法重複選擇和，直到求出一個合適的對。
(1) 選擇，一個小的隨機整數稱爲種子。
(2) 運用函數算出，使得n不能整除
。這裏所用的一個函數也許就是 = 
(a通常選作1)。
(3) 計算
。如果它不是1，結果是n的一個因數；如果它是1，返回到步驟1並用重複這個過程。現在我們計算
。注意，在下一輪中，我們以
開始，如此這般。如果我們運用Pollard
rho算法列出x的值，就會發現最終要重複的這個值，創建一個和希臘字母rho (
)一樣的形狀，如圖9-3所示。
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| 圖9-3 Pollard rho連續數 |
爲了減少反覆的次數，算法做了一些改進。該算法用數對(
, 
)開始，並且用
，迭代計算
。在每一次迭代中，我們都應用上述函數式運算(從第二步)第一次計算數對中的第一個元素，第二次計算數對中的第二個元素(參看算法9.6)。
算法 9.6 Pollard rho方法的僞代碼
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複雜度 這種方法需要算術運算
。不過，因爲我們希望p小於或等於
，我們希望做
算術運算。這就是說比特操作複雜度是
，它是指數增長的。
大整數分解現在任然是個世界級的難題，但卻依舊是個非常重要的研究方向，大整數在公共密鑰的研究上有着重要的作用。
而對於大整數的分解有很多種算法，性能上各有優異，比如大整數分解的Fermat方法，Pollard rho方法，試除法，以及橢圓曲線法，連分數法，二次篩選法，數域分析法等等。這裏，我主要講解其中兩種算法的原理和操作。
首先，對於任意的一個偶數，我們都可以提取出一個2的質因子，如果結果仍爲偶數，則可繼續該操作，直至將其化爲一個奇數和2的多少次冪的乘積，那麼我們可以假定這個奇數可以被表示成2*N+1，如果這個數是合數，那麼一定可以寫成N=c*d的形式，不難發現，式中的c和d都是奇數，不妨設c>d，我們可以令a=(c+d)/2,b=(c-d)/2，那麼的可以得到N=a*a-b*b，而這正是Fermat整數分解的基礎；由不等式的關係，我們又可以得到a>=sqrt(c*d)=sqrt(N)，那麼，我們就可以枚舉大於N的完全平方數a*a，計算a*a-N的值，判斷計算的結果是否爲一個完全平方數，如果是，那麼a，b都是N的因子，我們就可以將算法遞歸的進行下去，知道求出N的所有質因子。
容易看出，Fermat分解大數的效率其實並不高，但是比起試除法要好了很多；而且每次的計算都是計算出N的一個因子，更加降低了其效率。這就讓我們想着去嘗試新的算法，那就是Pollard rho算法。
Pollard rho算法的原理就是通過某種方法得到兩個整數a和b，而待分解的大整數爲n，計算p=gcd(a-b,n)，直到p不爲1，或者a，b出現循環爲止。然後再判斷p是否爲n，如果p=n成立，那麼返回n是一個質數，否則返回p是n的一個因子，那麼我們又可以遞歸的計算Pollard(p)和Pollard(n/p)，這樣，我們就可以求出n的所有質因子。
具體操作中，我們通常使用函數x2=x1*x1+c來計算逐步迭代計算a和b的值，實踐中，通常取c爲1，即b=a*a+1，在下一次計算中，將b的值賦給a，再次使用上式來計算新的b的值，當a，b出現循環時，即可退出進行判斷。
在實際計算中，a和b的值最終肯定一出現一個循環，而將這些值用光滑的曲線連接起來的話，可以近似的看成是一個ρ型的。
對於Pollard rho，它可以在O(sqrt(p))的時間複雜度內找到n的一個小因子p，可見效率還是可以的，但是對於一個因子很少、因子值很大的大整數n來說，Pollard rho算法的效率仍然不是很好，那麼，我們還得尋找更加的方法了。
